新型钢承板优化设计与分析

新型钢承板优化设计与分析

□ 东南大学成贤学院 吴建霞

摘要：本文根据结构优化原理对新型钢承板进行了优化分析，建立了相应的数学模型，并对钢承板进行了优化设计，得到了最优的截面尺寸，同时对优化结果进行了分析，从而证明优化结果的合理性。

关键词：钢承板；优化设计；MATLAB

1、前言

我们现在已经熟悉了传统的结构设计，其过程：假设-分析-校核-重新设计，重新设计的目的是要选择一个合理的方案，属于“分析”的范畴，且只能凭借设计者的经验作很少几次重复以通过“校核”，没有把设计所追求的目标与应满足的条件有机地结合起来，因此得出的不一定是最优设计。

而结构优化设计是基于结构的综合设计，其过程：假设-分析-搜索-最优设计，即在可行区域内用优化方法搜索所有的设计方案，从中找出最优设计方案，其追求最合理利用材料性能，使构件中各几何参数得到最好的协调，是经验和优化理论相结合的主动搜索。

随着MATLAB优化工具箱的出现，其内含强大的优化功能极大地简化了人们对问题的优化算法实现过程，而更能将精力集中于需要解决的问题，为问题的解决赢得大量的宝贵时间。

本文正是根据优化设计的思想，同时利用MATLAB软件对钢承板进行了优化设计和分析。

2、优化方法

在日常工作和生活中，人们对于同一问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取最佳方案。目前最优化方法的应用和研究已经深入各个领域，如土木工程、生产控制、经济管理等方面，并取得了显著的经济和社会效益。

本文优化为有约束的非线性最优化问题，其优化方法采用序列二次规划法（SQP),即根据柯恩-塔克（Kuhn-Tucker）方程的解形成非线性规划算法，这些非线性规划算法直接计算拉格朗日乘子。用拟牛顿法更新过程，给K-T方程积累二阶信息，可以保证有约束拟牛顿法的超线性收敛。其重要思路是形成基于拉格朗日函数二次近似的二次规划子问题，即

K-T方程可以表示为：

通过假设约束条件，使K-T方程得到简化；通过非线性有约束问题线性化来获得二次子问题，即：；

二次规划子问题可以用任意一种二次规划算法求解，求得的解可以用来形成新的迭代公式：

其中：

同时由于在搜索区域内，SQP方法可以获得最佳的搜索方向和步长信息，所以SQP法求解非线性问题时的迭代次数常比用解无约束问题时的少。

3、新型钢承板优化设计的数学模型

3.1 设计变量

本文利用板件（如图1所示）的截面尺寸描述设计方案，其设计参量包括：上、下翼缘分别为 与 ，截面总高度 ，弯角内径为，弯角 ,板厚度 。当钢承板的上翼缘无中间加劲肋（如图2所示）时，优化设计参数选取6个设计参量，即

图1 新型钢承板截面示意图

图2 单波距钢承板截面示意图

3.2 目标函数

在冷成型钢结构设计中，单个板件通常较薄，且宽厚比较大，这种薄壁板件如果承受弯矩、轴向压力、剪切作用，在应力水平低于钢材屈服强度时，局部屈曲就可能发生，因此冷成型钢截面单个板件的局部屈曲通常是设计的重要准则之一，而要保证板件的局部稳定性，板件的刚度起了很重要的作用，为此本文优化设计的目标函数采用钢承板的抗弯刚度，即使其刚度最大，由于本文涉及到的优化函数要求目标函数最小化，因此应该讲抗弯刚度的目标函数负值最小化。

当上翼缘无中间加劲肋，且翼缘、腹板全部有效时，其单位面积下的目标函数：

将涉及变量代入上式，并且使目标函数负值化，得

3.3 约束方程

考虑到钢承板的强度、刚度、尺寸、冷成型钢承板的加工工艺以及相应规范等要求，可建立如下约束方程：

⑴ 与柱等一维构件不同，达到屈曲应力时，加劲受压板不会破坏，附加的荷载借助于屈曲后应力重分布可由板件承受，这种现象称为屈曲后强度，而本文所研究的钢承板就要考虑屈曲后强度。

钢承板屈曲后的性能可用大变形理论分析，由于大变形理论微分方程很复杂，为此本文采用有效宽度法的概念，同时为了简化计算，假设翼缘平直段部分有效，腹板平直段全部有效，即翼缘、腹板满足以下约束方程：

⑵ 由于本优化设计是以受压区达到屈服极限为其控制条件的，故其中性轴的位置应满足以下条件：

⑶ 根据强度要求：

⑷ 冷成型压型钢板的板件宽厚比较其他结构构件的宽厚比大，为了避免所设计板件的翼缘及腹板平直段部分的宽厚比过大，应对其做如下约束：

⑸ 对冷成型截面力学性能有着很重要的影响，为此对其进行如下规定：

⑹ 钢承板截面尺寸要求：

4、MATLAB优化计算

4.1 调用函数

本文利用MATLAB优化工具箱，采用序列二次规划法求解，通过使用BFGS法构造变尺度矩阵，以保证目标函数的超线性收敛。其调用格式：

[x,f v a l,e x i t f l a g,o u t p u t,l a m b d a]=f m i n c o n(@ myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon),其中调用函数中的A,b满足线性约束不等式 ,该式即为上文建立的约束方程，其中

Aeq和beq满足线性约束等式Aeq·X=beq，由于本文没有线性约束等式，因此令Aeq=[ ]；beq=[ ]；lb、ub为设计变量x的下界lb和上界ub，因此应保证x始终在lb≤x≥ub，本文lb=zeros(6,1)或lb=zeros(7,1)；ub=[ ] 。

4.2 优化结果

根据上文推导出来的目标函数和约束方程，编制优化计算程序，输入初始值，套用上面介绍的调用格式，利用MATLAB优化工具箱，优化新型钢承板，计算结果见表1至表2。

4.3 结果分析

对表1至表2的计算结果进一步分析，其值均是从初始值开始在可行凸域内，沿着本文所设定的目标函数的负梯度一侧快速的搜索获得，而且在有效约束处进行搜索，因此计算结果均满足约束要求、K-N条件和刚度最大的原则，上述计算结果是全局极值，因而是最优解。

5、结束语

结构优化设计是近年发展起来的一门新技术，它的出现使设计者能从被动的分析、校核进入主动的设计，这是结构设计上的一次飞跃。采用优化设计可以使土建工程造价降低5%-20%，且能最合理地利用材料的性能，使结构内部各单元得到最好的协调，并满足规范要求的安全度。同时还可为整体性方案设计进行合理的决策，是实现结构安全、适用和经济的有效途径。

MATLAB凭借强大的功能、先进的技术，应用于现代科技和工程界。从本文可以看出，其工具箱求解，简单易行，并且在求解过程中，优化参数得到很好的控制，这样不仅大大减少了工作量，而且结果可靠，计算精确度高，特别是对于变量多且复杂的非线性计算尤为适用，因此MATLAB工具箱为各种优化设计提供了非常便捷的求解工具。

参考文献：

[1] 于炜文著，董军，夏冰清，吴建霞译.冷成型钢结构设计，2003；

[2] 张炳华，候昶.土建结构优化设计；同济大学出版社，1998；

[3] GB50018-2002:冷弯薄壁型钢技术规范；

[4] 冷弯薄壁型钢结构设计手册.中国建筑工业出版社，1996；

[5] GB50009-2012:建筑结构荷载规范；

[6] 硕士论文：新型钢承板截面优化及舒适度研究。

DOI：10.16116/j.cnki.jskj.2016.22.033