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在国际单位制下，真空中的麦克斯韦方程组(微分形式)可以表示成: 
介质中的麦克斯韦方程组可以表示成: 
另外，还有两个辅助方程经常用到: 
其中，  , 是电通量密度(单位: 库伦/平方米，C/m?); , 是磁通量密度(单位: 特斯拉，T)，也称磁感强度; , 是电场强度(单位: 伏特/米，V/m); , 是磁场强度(单位: 安/米，A/m); , ρ是自由电荷体密度(单位: 库伦/立方米，C/m?); , 是自由电流面密度(单位: 安/平方米，A/m?); , 是 真空介电常数; , μ是 真空磁导率; 0 , 是介质的极化强度; , 是介质的介电常数; , 是介质的相对介电常数; 1/22页 , 是介质的磁化强度; , μ是介质的磁导率; , μ是介质的相对磁导率。 r [编辑] 麦克斯韦方程组的含义 第一个方程表示电场是有源的。(单位电荷就是它的源) 第二个方程表示变化的磁场可以产生电场。(这个电场是有旋的) 第三个方程表示磁场是无源的。(磁单极子不存在，或者说到现在都没发现) 第四个方程表示变化的电场可以产生磁场。(这个磁场是有旋的)
第8章 麦克斯韦方程组
本章要点: 1. 电磁感应定律及楞次定律 2. 动生电动势和感生电动势 *3. 自感与互感 *4. 磁场的能量 5. 麦克斯韦方程组
前面分别讨论了静电场和稳恒磁场的基本属性，以及它们和物质相互作用的基本规律。随着生产发展的需要，人们深入地研究了电磁现象的本质，从而对电磁场的认识有了一个飞跃。由实验发现，不但电荷产生电场，电流产生磁场，而且变化着的电场和磁场可以相互产生，所以电场和磁场是一个统一的整体——电磁场。杰出的英国物理学家法拉第于1831年发现了电磁感应现象，被誉为电磁理论的奠基人。他的丰硕的实验研究成果以及他的新颖的“场”的观念和力线思想，为电磁现象的统一理论准备了条件。1862年，英国的麦克斯韦完成了这个统一任务，建立了电磁场的普遍方程组，称为麦克斯韦方程组，并预言电磁场以波动形式运动，称为电磁波。它的传播速度与真空中的光速相同，表明光也是电磁波。这个预言于1888年由德国的赫兹通过实验所证实，从而实现了电、磁、光的统一，并开辟了一个全新的战略领域——电磁波的应用和研究。1895年俄国的波波夫和意大利的马可尼分别实现了无线电讯号的传输??本章首先讨论电磁感应现象，引出涡旋电场，从而得到随时间变化的磁场产生电场的基本规律;然后研究非稳恒条件下电流连续性方程，引出位移电流，说明随时间变化的电场产生磁场，从而得出在普遍情况下安培环路定理的推广形式;最后总结出电磁场运动的普遍规律——麦克斯韦方程。
8.1 电磁感应
8.1.1 电磁感应现象
2/22页 自从发现了电流产生磁场的现象以后，人们提出一个问题:电流既然能够产生磁场，那么，能不能利用磁场来产生电流呢?下面先通过几个实验说明什么是电磁感应现象，以及产生电磁感应现象的条件。 1. 取一线圈A，把它的两端和一电流计G连成一闭合回路图8-1 (a)，这时电流计的指针并不发生偏转，这是因为在电路里没有电动势。再取一磁铁，先使其与线圈相对静止，电流计也不发生偏转。但若使两者发生相对运动，电流计的指针则发生偏转。当相对运动的方向改变时电流计指针偏转的方向也发生变化。同时，相对运动速度越大，指针偏转越大。 2. 前面讲过，电流要激发磁场，一个载流螺线管相当于一根磁棒。因此，如果我们取一个载流螺线管B代替图8-1实验中的磁棒，则当载流螺线管和线圈回路之间有相对运动时，发现电流计的指针也会发生偏转，说明闭合线圈回路中亦有电流图8-1(b)。如果在线圈B中加进一个铁芯，则电流计指针的偏转更大。 3. 将通电螺线管放入线圈中，调节可变电阻器的阻值R，观察连接在线圈回路中的电流计指针图8-1(c)，实验发现:当R不变化时电流计指针不动，这表明线圈回路中没有电流;当R变化时，螺线管中的电流强度改变，电流计的指针发生偏转，这表示线圈回路中有电流。当R变化使螺线管中的电流强度增强时，电流计的指针向一侧偏转，而当螺线管中的电流强度减弱时，电流计的指针向另一侧偏转，并且，螺线管中的电流改变得越快，这时电流计指针的偏转角也越大，显示出线圈回路中的电流强度也越大。 4. 在图8-1(d)所示的均匀磁场中，电流计与一个Π形导线框相连，Π形导线框上放有一个可以垂直于磁场 B方向运动的导体棒，导体棒与Π形导线框保持良好接触。
(a) (b) (c) (d) 图8-1 实验发现:当导体棒以一定速度向右或左移动(即改变导体回路面积)时，这时，回路中就有电流。虽然，回路内各点的磁感强度B不改变，但穿过回路的磁通量却在增加或减少。当磁通量增加时，电流计指针向一个方向偏转;磁通量减少时，电流计指针向另一个方向偏转。 进一步的实验还可以发现，导体棒在磁场中运动得越快，磁通量改变(增加或减小)越快，电流计指针偏转越大，表明回路中的电流也越大;反之，则越小。 上面四个实验都是利用磁场产生电流，那么产生电流的条件是什么呢?如果分别考察每个实验，似乎可有若干不同的说法。如果综合分析上述各实验，尽管情况各不相同，但有一点却是共同的，即不论是B、S或θ改变，它们都要使穿过闭合回路的磁通量发生变化。那么利用磁场产生电流的共同条件可概括为:穿过闭合回路所包围面积的磁通量发生变化。对实验1和2，是由于闭合回路与磁铁间的相对运动时，使回路包围面积中磁感强度B发生变化而导致穿过闭合回路所包围面积的磁通量发生变化;对于实验3，是由于磁场中各点磁感强度的变化而导致穿过闭合回路所包围面积的磁通量发生变化;对实验4，则由于闭合回路所包围面积的变化而导致穿过闭合回路所包围面积的磁通量发生变化。 因而有如下结论:当通过一个闭合回路所包围面积的磁通量发生变化(增加或减少)时，不管这种变化是由于什么原因所引起的，回路中就有电流产生。这种现象叫电磁感应现象。在回路中所产生的电流叫做感应电流。在磁通量增加和减少的两种情况下，回路中感应电流的流向相反。感应电流的大小则取决于穿过回路中的磁通量变化快慢。变化越快，感应电流越大;反之，就越小。回路中产生电流，表明回路中有电动势存在。这种在回路中由于磁通量的变化而引起的电动势，叫做感应电动势。
8.1.2 电磁感应定律
现在我们对上节中由实验所得到的结论，作进一步的分析，以便了解电磁感应的基本规律。 3/22页 法拉第对电磁感应现象作了详细分析，总结出感应电动势与磁通量变化率之间的关系，这个关系就是法拉第电磁感应定律，它的内容是:不论任何原因，当穿过闭合导体回路所包围面积的磁通量发生变Φm dΦm化时，在回路中都会出现感应电动势ε，而且感应电动势的大小总是与磁通量对时间t的变化率成正idt比。 dΦm用数学公式可表示为 ε= ki dt 式中，k是比例系数，在国际单位制中，ε的单位是伏特，Ф的单位是韦伯，t的单位是秒，则有k = 1。im 如果再考虑到电动势的“方向”，就得到法拉第电磁感应定律的完整表示形式，即: dΦm ε=, (8-1) i dt 应当指出，式(8-1) 是针对单匝回路而言的。如果回路是由N匝密绕线圈组成的，而穿过每匝线圈的磁通量都等于，那么通过N匝密绕线圈的磁通量则为= NФ。我们常把称为磁通链。 ΦΨΨm 若导体回路是闭合的，感应电动势就会在回路中产生感应电流;若导线回路不是闭合的，回路中仍然有感应电动势，但是不会形成电流。 如果闭合回路的电阻为R，则回路中的感应电流为 dΦ1mI,, (8-2) iRdt dqI,利用上式以及，可计算出由于电磁感应的缘故，在时间间隔,,,ttt内通过回路的电量。设21dt 在时刻t穿过回路所围面积的磁通量为Ф，在时刻t穿过回路所围面积的磁通量为Ф。于是，在时,t1m12m2间内，通过回路的电量为 tΦ211m2qIdtd,,,,,ΦΦΦ() (8-3) mmm12,,tΦm1RR1 比较式(8-2)和式(8-3)可以看出，感应电流与回路中磁通量随时间的变化率有关，变化率越大，感应电流越强;但回路中的感应电量则只与磁通量的变化量有关，而与磁通量的变化率(即变化的快慢)无关。在计算感应电量时，式(8-3)取绝对值。
8.1.3 楞次定律
现在来说明式(8-1)中负号的物理意义。 1833年楞次提出一种直接判定感生电流方向的方法:感应电流的方向总是要使感应电流所产生的磁场阻碍引起感应电流的磁通量的变化。这就是楞次定律。具体步骤是:首先要判明通过闭合回路的原磁场B的方向，其次确定通过闭合回路的磁通量是增加还是减少，再者按照楞次定律来确定感应电流所激发的磁场B′的方向(磁通量增加时B′与B反向，磁通量减少时B′与B同向)，最后根据右手螺旋法则从感应电流产生的磁场B′方向来确定回路中感应电流的方向。
(a) (b) 图8-2 楞次定律确定回路中感应电流的方向 在上述实验(a)中，当磁铁棒以N极插向线圈或线圈向磁棒的N极运动时，通过线圈的磁通量增加，感应电流所激发的磁场方向则要使通过线圈面积的磁通量反抗线圈内磁通量的增加，所以线圈中感应电流
4/22页 所产生的磁感应线的方向与磁棒的磁感应线的方向相反[图8-2(a)]。再根据右手螺旋法则，可确定线圈中的感应电流为逆时针方向。当磁铁棒的N极拉离线圈或线圈背离磁棒的N极运动时，通过线圈的磁通量减少，感应电流所激发的磁场则要使通过线圈面积的磁通量去补偿线圈内磁通量的减少，因而，它所产生的磁感应线的方向与磁棒的磁感应线的方向相同[图8-2(b)]，则线圈中的感应电流方向与(a)的相反，为顺时针。 其他几个实验也可以用同样的分析方法来确定感应电流的方向，读者可自行分析。 现介绍用法拉第电磁感应定律的表达式(8-1)中的负号来判定感应电动势的方向，我们规定:先选定回路的绕行正方向，再用右手螺旋法则确定此回路所围面积的正法线n的方向如图8-3所示;然后确定通过回路面积的磁通量Ф的正负:凡穿过回路面积的B的方向与正法线方向相同者为正，相反者为负;最后m dΦdΦmm再考虑Ф的变化，从式(8-1)来看，感应电动势ε的正、负只由决定。若,0，ε为负值。即miidtdt dΦmε的方向与规定的绕行正方向相反。若,0，则ε为正值，即ε方向与绕行正方向相同。 iiidt
dΦm图8-3 (a)中，因B与n —致，故Ф,0;且知磁通量随时间增加，即,0，故依上面的规定，εmidt 为负值。即感应电动势ε方向与绕行正方向相反。 i dΦm图8-3 (b)中，因B与n —致，故Ф,0;但磁通量随时间而减小，即,0，这时ε应是正值。即midt ε方向与绕行正方向相同。 i 图8-3(c)中，因B与n相反，故Ф,0;当磁通量随时间增加时，相对正法线方向则是减少，因此，m dΦm,0，这样ε是正值。即感应电动势ε方向与绕行正方向相同。 iidt 图8-3(d)中，因B与n相反，故Ф,0;当磁通量随时间减少时，即相当于沿正法线n方向增加，m dΦm因此，,0，很易确定感应电动势ε方向与绕行正方向相反。 idt 用这种方法确定感应电动势的方向和用楞次定律确定的方向完全一致，但在实际问题中用楞次定律来确定感应电动势的方向比较简便。 楞次定律是符合能量守恒定律的。这里以在匀强磁场中导线框上活动的导线在磁场中运动时的能量转换来说明。活动导线移动时受到的磁场力总是反抗导线运动的。也就是说，要使导线移动，就需要外力作功，这样就使其它形式的能量(如机械能)转化为感应电流通过回路时的电能。而由式(8-1)中负号决定的感应电动势方向和楞次定律所确定的方向一致，这就恰恰说明了法拉第电磁感应定律式(8-1)中的负号所表明的感应电动势的方向与能量守恒定律有着内在的联系。 例8-1在时间间隔(0，t )中，长直导线通以I = k t的变化电流，方向向上，式中I为瞬时电流，k0 是常量，。在此导线近旁平行地放一长方形线圈，长为b，宽为a，线圈的一边与导线相距为d，0tt,,0 μ设磁导率为的磁介质充满整个空间，求任一时刻线圈中的感应电动势。 5/22页 |
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