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“问题解决”面面观（上） 郑毓信 一、国际视野下的“问题解决” 自新一轮数学课程改革实施以来，由于“问题解决”与“知识与技能”“数学思考”“情感与态度”一起被列为数学教育目标的四个方面，自然获得了数学教育工作者特别是一线教师的普遍关注，近期更已成为数学教学研究的一个热点。例如一本杂志的“编辑按语”这样写道：“新课程实施以来，广大一线教师在实践中不断遇到新问题，如‘算法多样化’‘创设情境’‘小组合作’等。随着课程改革的深入，老师们对这些问题的认识逐步趋于清晰并付诸实践，而近两年，‘解决问题’的教学成了老师们最为关注的话题……”【1】 对相关文章（包括专题报告）进行综合分析，可以看出，围绕“问题解决”在当前事实上已经形成了一个“概念群”，如“问题解决”“解决问题”“问题”“问题情境”“研究问题”“课题研究”“应用题”“综合应用”“解题策略”“解题思路”等。这显然表明这方面的工作涉及了很多方面，正因为此，在现实中可以看到多种不同的观点或主张，相关的教学实践也存在不少的问题或困惑。从而，这就清楚地表明了从各个方面对“问题解决”作出深入研究的必要性。 由于“问题解决”是由国际数学教育界直接引入的一个概念，因此，作为必要的背景知识，我们首先就应很好了解国际数学教育界在这方面的共识是什么，特别是，人们经由教学实践的总结和反思而获得的经验与教训是什么。 具体地说，“问题解决”( problem solving ）正是国际数学教育界，特别是美国数学教育界在20世纪80年代的主要口号，这也就是指，与60年代的“新数学运动”一样，“问题解决”同样代表了一次整体性的数学教育改革运动，从而也就涉及了数学教育的各个方面，包括数学教育的总体目标、数学课程的整体设计、具体的教学思想，等等。例如，这一改革运动的一个核心思想是，认为数学教育应当主要集中于提高学生解决问题的能力。另外，这一运动所特别强调的一个教学思想是所谓的“学数学，做数学”，也即认为“做中学”同样应当成为学生学习数学的主要方法。 从上述角度去分析，容易看出，即使在新一轮课程改革以前，“问题解决”这一改革运动就已对我国的数学教育产生了一定影响。例如，相对于传统的“三大能力”而言，1996年形成的《全日制普通高级中学数学教学大纲》就已明确提出了“提高学生解决问题的能力”这样的目标。当然，为了真正实现这一目标又有很多工作要做，特别是，我们应注意吸取国外的相关经验与教训，这样就不仅可以少走弯路，也可以更为有效地改进我们的数学教学。 事实上，美国数学教育界在20世纪80年代围绕“问题解决”所展开的理论研究与教学实践，在很大程度上可以形容为一种“曲折的前进”。具体地说，尽管著名数学家、数学教育家波利亚关于“数学启发法”（解题策略）的研究可以看成为“问题解决”的教学提供了直接基础，但在现实中人们又经常可以看到这样的现象：学生已经具备了足够的数学知识，似乎也已掌握了相应的解题策略，但仍然不能有效地解决问题。因此，从总体上说，20世纪80年代初期的教学实践就是一种失败的尝试；然后，正是通过认真的总结与反思，人们又逐渐取得了一些新的重要进展，包括理论研究上的突破，即真正实现了“对于波利亚的超越”。 所谓“对于波利亚的超越”，主要是指人们已清楚地认识到这样一点：除了必要的数学知识以外，“数学启发法”不应被看成影响学生解决问题能力的唯一要素；恰恰相反，我们应当通过数学解题全部过程的具体分析更加深入地去揭示那些对于解决问题同样具有十分重要影响但又往往为人们所忽视的其他环节。特别是，美国学者舍费尔德为具体分析复杂的解题行为提供了一个新的理论框架，它描述了复杂的智力活动的四个不同性质的方面：认识的资源，即解题者已掌握的事实和算法；启发法，即在困难的情况下借以取得进展的“常识性的法则”；调节，它所涉及的是解题者运用已有知识的有效性；信念系统，即解题者对于学科的性质和应当如何去从事工作的看法。【2】 另外，人们通过总结与反思获得了一个重要教训，即与片面强调“问题解决”相比较，我们应当更加重视帮助学生学会数学地思维。这也就如舍费尔德所指出的：“现在让我回到‘问题解决’这一论题。尽管我1985年出版的书用了《数学解题》这样一个名称，但我现在认识到这一名称的选用不很恰当。我所考虑的是，单纯的问题解决的思想过于狭窄了。我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是由别人提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维。”【3】显然，从这一角度去分析，我们也可更好理解新一轮数学课程改革所倡导的数学教育目标的“四个方面”在实践中何以会逐渐演变成了所谓的“三维目标”，即“知识与技能”“数学思考”和“情感与态度”。 由于从20世纪90年代开始世界各国先后开展了以“课程标准”为主要标志的新一轮数学课程改革，因此，在这样的情况下，“问题解决”自然也就由原先的中心地位逐步退居到了较为次要的位置。但是，这样的变化不应理解成“问题解决”已完全淡出了数学教育的视野．而只是表明“问题解决”已经渗透到了数学教育的各项工作之中，或者说，只有以数学教育的整体发展，特别是以课程改革为背景去分析，我们才能很好理解“问题解决”的现代发展或演变。例如，在各国先后推行的新一轮数学课程改革中，“问题解决”的作用都得到了普遍肯定，即认为这可以为学生的数学学习提供重要的动力，并使他们真正感受到数学学习是一种有意义的活动。这显然也就是“问题情境”这一术语在新一轮数学课程改革中得到普遍应用和突出强调的主要原因。另外，数学教育现代发展的一个普遍趋势是，应当将“提高学生解决问题的能力”看成数学教育的一个基本目标，这就是诸多数学新课程专门引入“课题研究”或“研究问题”等内容的主要原因。最后，就相关的教学实践而言，我们也可看到当年的一些简单化认识现在已经得到了较好纠正。如人们现已普遍地认识到了“数学活动”不应简单地等同于“问题解决”;“提高学生解决问题的能力”也不应看成数学教学中积极倡导“问题解决”的唯一目标，因为我们也应要求学生通过求解问题获得更好的概念理解，包括促进学生的数学交流，并能积极地去从事数学证明，等等。 综上可见，国际数学教育界关于“问题解决”的现代研究与教学实践为我们切实做好这方面的工作提供了重要背景。由于这正是笔者在先前已发表的一些文章和著作的直接主题，在此就不再赘述。【4】以下就让我们将视线转向国内。 二、“问题解决”与“应用题教学” 如果以1990年为界将国际上关于“问题解决”的理论研究与教学实践分成两个阶段，那么，国内自新一轮数学课程改革实施以来在这一方面的工作显然属于后一阶段，因为这些研究与教学实践主要都是以课程改革为背景展开的，并构成了整体性数学课程改革的一个有机组成部分。例如，在笔者看来，这也就为以下的事实提供了直接的解释：与国际上关于“问题解决”的早期研究相比，中国在这方面的研究应当说更加具体、更为直接地表现出了与实际教学工作的直接联系，如在当前我们究竟应当如何去进行“解决问题”的教学。另外，由于中国具有自己特殊的数学教育教学传统，因此，相关的工作也有很大的特殊性，或者说，“问题解决”在中国采取了一个特殊的发展途径。对于这一点，由“解决问题”对于算术应用题的彻底取代就可清楚看出。下面就围绕这一论题对国内的相关研究作出概述与分析。 由众多相关的论文可以看出，国内数学教育界关于“问题解决”研究的一个焦点是，应当如何去看待与处理“解决问题”教学与算术应用题教学之间的关系。例如，由小学数学教师编辑部与山东省教研室联合举办的“‘解决问题’专场”(2010，烟台）共安排了3个专家报告，而它们的一个共同点就是都涉及了“解决问题”教学与算术应用题教学之间的关系。当然，造成上述情况的主要原因是，在新一轮数学课程改革中传统的应用题被“解决问题”所完全取代，这一做法在教学实践中又造成了一定的困难或问题。 显然，如果不是“头痛医头、脚痛医脚”的话，我们就应深入地思考这样三个问题：第一，为什么要用“解决问题”完全取代传统的应用题？第二，这样的“取代”是否真的可行？或者说，这一做法在教学实践中是否也可能造成一定的问题或弊病？第三，就当前而言我们又可引出关于这方面进一步工作的哪些意见或建议？ 就课改初期而言，应当说大部分论述主要都集中于第一个问题，特别是，人们常常以传统应用题教学的各种弊病作为主要论据来论证以“解决问题”完全取代传统的应用题的必要性和合理性。这就正如周玉仁教授所指出的：“鉴于我国小学传统应用题教学存在着不少弊端，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》制定时，为了与之‘拉开距离’，干脆将应用题取名为‘解决问题’，与国际接轨。”【5】 正如人们所普遍认识到的，传统的应用题教学的一个主要弊端是：“分类”事实上演变成了“类型化”。（张奠宙）更为一般地说，这也就是指：“由于人为分类过细，要求又高，加之教学不甚得法，养成了学生找类型、背结语、死套公式的弊病，有的学生甚至用找关键词来代替分析数量关系，题目稍一变化，便不知所措。”【6】 为了更清楚地说明问题，人们又往往会将传统的应用题与“解决问题”作对照，特别是强调两者具有完全不同的性质：“解决问题脱胎于应用题，但绝不同于应用题。”（孙晓天）沈重予老师也突出地强调了这样一点：“课程标准教材三年级和四年级‘数与代数’领域中的实际问题，在题目的选择与编排、问题的提出与呈现、教学的过程与方法等各个方面都与过去的应用题有明显的不同。”【7】另外，这显然也是人们经常提及“常规问题”与“非常规问题”的区分的主要原因，即所说的问题是否具有一定的开放性、综合性与挑战性等。 与第一个问题相对照，上述的后面两个问题的提出应当说更加清楚地表明了切实立足于实际教学活动的重要性。例如，只有从后一角度去分析，我们才能更好地理解在现实中何以会出现研究问题的不断“细化”这样一个发展趋势，即如由“解决问题”教学与应用题教学之间的关系逐步聚焦到了“解决问题”与计算教学之间的关系，因为，正如新世纪小学数学编辑部在相应的“栏目导语”中所指出的：后者正是“一线教学中不能回避的现实问题”【8】。另外，这显然也是“江苏省小学数学解决问题的策略第二次教学研讨会”何以主要集中于“中年级实际问题的教学”的主要原因。 进而，我们在此也可清楚地看到教学实践基础上的认真总结与深入反思。例如，在笔者看来，我们就应从这一角度去理解张奠宙先生用对话形式所表达的如下意见：“问：如果用‘问题解决’代替‘数学应用题’教学，您觉得是否合适？”“张：我认为不够妥当。”【9】进而，源自一线教师的以下一些认识或体会就可以看成从一个侧面为上述断言提供了相关的论据： 课程改革以来，由于部分教师错误地理解了应用题教学改革的基本理念，认为解决实际问题的教学应该完全放手让学生自己探索和思考，教师不需要讲解，特别是淡化了对于数量关系的概括和解决问题思路的分析，导致学生在解决实际问题的学习中，常常是利用自己的知识和生活经验解题，跟着感觉走。【10】 在运用策略解决问题的过程中，不能跳过数量关系的分析，否则只能让学生停留于就题论题的感性认识，无法建立有效的数学模型。【11】 重视数量关系的分析是应用题教学的传统。在数学新课程里，解决简单实际问题的数学模型还是依据实际问题里数量间的联系和四则运算的意义确定的，高年级复合数量关系又是由最基本的简单数量关系经过交错组合而形成的……可见掌握数量关系仍是解决实际问题的核心。【12】 当然，上述的意见并非是指我们应当重新回到传统的应用题教学；恰恰相反，我们所面临的应是一个“重建”的任务，包括如何能对这里所说的“应用题”作出清楚的界定，如何又能更为深入地去认识“应用题教学”的作用以及我们究竟应当如何去进行应用题的教学，等等。例如，这显然可被看成后一方面的一个具体建议：“应用题要有类型，但是不要‘类型化’。”另外，在笔者看来，又只有从认识的角度去分析，我们才能更好理解张奠宙先生的以下论述：“应用题的分类不是我们要不要的问题，而是客观存在的现象。”【13】因为，这正是人类认识活动的一个基本特征，即所谓的“模式识别”在其中占据了十分重要的地位。（当然，作为问题的另一方面，我们又应清楚地看到，“模式识别”并非人类认识、把握问题的唯一方式）再例如，尽管相关论文的直接主题略有不同，但以下的论述显然也体现了“应用题教学”的必要重建这样一个立场：“需要指出的是，对比两者并不是说我们不提倡解决问题……实际上，我们更应以解决问题为理念和目标，指导应用问题的教学。”【14】如果从这一角度去分析，我们也就可以更好地理解关于“实现解决问题教育功能的几点思考”的基本意义，即这不仅清楚地指明了用“解决问题”完全取代“算术应用题”教学所造成的困难或问题，也为这方面的进一步工作指明了努力的方向：(1）两个转化（即“从现实生活原型中抽象出数学问题”和“问题的具体求解与实践中的检验”)，一个也不能少。（2）解决“常规”与“非常规”问题，功能互补。(3）做好图画情境问题与文字应用题的恰当过渡。（4）重视数量关系的分析。（5）适时提供一些行之有效的解题策略。【15】 当然，从教学实践的角度看，仍然存在如何才能真正落实的问题，特别是，如何能够避免出现“两个都想抓，两个都抓不住”的现象。显然，这事实上也就进一步突显了立足实际教学活动、高度重视总结与反思的重要性。例如，在笔者看来，这事实上就正是众多相关的教学论文的基本意义，即：“每一堂课应该有所倚重。如果教师在一节课中注重了计算方法的训练，我们不能简单地认为其忽视了问题的解决；同样，若教师偏重了解决问题教学，我们也不能断言他忽略了计算教学。我们要用全局观念认识解决问题和计算教学这种结构性的融合关系。用这种关系来定位一堂课、一个单元乃至整册书、整套教材，这样才能实现解决问题与计算教学的自然融合，达成二者的和谐发展。”【16】 参考文献： 【1】小学数学教育，2008,(7、8). 【2】A . Shoenfeld ．Mathematicai Problem Solving【M】Academic Press Inc . , 1985. 【3】A . Shoenfeld . What is all the fuss about problem solving 【J】. ZDM, 1991, (l) . 【4】郑毓信．问题解决与数学教育【M】．南京：江苏教育出版社，1994;郑毓信．“关于问题解决的再思考”【J】．数学传播（台湾）,1996,(4)；郑毓信．“问题解决”与数学教育（2008）【J】．数学教育学报，2009,(1)；郑毓信．数学方法论的理论与实践【M】．南宁：广西教育出版社，2009. 【5】【6】【15】周玉仁．从“应用题”到“解决问题”【J】．小学数学教师，2010,(7、8). 【7】沈重予．“加强对解决问题基本策略的研究和教学”【J】．教育研究与评论（小学教育教学）,2010,(6). 【8】新世纪小学数学，2010,(3). 【9】【13】张莫宙，唐彩斌．应用题的本质是数学建模【J】．小学数学教师，2010,(7、8). 【10】王金法．在解决问题的过程中体验基本策略【J】．教育研究与评论（小学教育教学）,2010,(6). 【11】汤卫红．我们需要怎样的常见数量关系教学【J】．教育研究与评论（小学教育教学）,2010,(6). 【12】周建芳．继承、发展、创新【J】．教育研究与评论（小学教育教学）,2010,(6). 【14】张丹．数与代数应用问题的内容主线和教学建议【J】．小学数学教师，2010,(7、8). 【16】吕华军，胡章艳．用全局观念认识解决问题与计算教学的关系【J】．新世纪小学数学，2010,(3). （作者单位：南京大学哲学系） |
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