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【本文系美国微软Q研究所研究员、加州大学圣巴巴拉分校教授王正汉撰写】 拓扑是几何学发展而衍生出的一个核心数学研究领域。对拓扑学家来说，人的脸都是同样的，可谓“千人一面”。拓扑学不关心东西的大小长短，但物理却十分关注远近轻重。因此拓扑能在物理中应用是一件很难得的事。拓扑物质形态是用拓扑不变量来刻划的新的物质形态。今年的诺贝尔物理学奖表彰了David J. Thouless， F. Duncan M. Haldane和J. Michael Kosterlitz对拓扑相变和拓扑物质形态的先驱性贡献。 物质在不同条件下呈现出不同状态，所以物质形态千奇百怪。 比如水在温度和压力下有固态和液态。气态呢？气体和液体之间可以没有相变互相转换，所以它们是同一个态。 Thouless和Kosterlitz用平面闭曲线的拓扑不变量——卷绕数——来刻划拓扑缺陷。KT相变描述了平面超流体从低温到高温时的拓扑相变：低温时卷绕数相反的涡旋在平面超流体中成对出现，降低总能量；温度升高后，正反涡旋对破裂，单个涡旋成主导从而发生相变。
Thouless的另一个重要贡献是和Kohomoto, Nightinggale 和 Den Nijs把“陈省身示性类”用于拓扑物质形态——整数量子霍尔效应。整数量子霍尔效应的最低能态可以用复数版的莫比乌斯带来描述。陈类的拓扑不变性解释了整数量子霍尔效应不可思议的精准度。 Haldane开创了诸多拓扑物质形态新方向，其中包括自旋链的拓扑Haldane相和反常量子霍尔效应的理论机制。 |
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