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Q1：十字交叉法是个啥东西，能吃吗？ 十字交叉法是一种数学方法，能应用于部分数学运算和资料分析的解题中，但不能吃。 请注意，十字交叉法虽然能提升部分题目的解题效率，但使用题型比较有限，普适性较低，而且理解难度不小，故属于我们所谓的选学内容，只追求结果的同学可以直接跳到第三部分和第四部分。 我们通过一道题目来了解它的使用方式： 【例】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水不会溢出） A.6 B.5 C.4 D.3 解法一（方程解法）：设需加x次，根据溶液混合过程中溶质不变：（100+14x）×25%=100×10%+14x×50%①，解得x=4.+，故需要5次。 解法二（十字交叉法）：混合前溶液的浓度与混合后溶液浓度斜线做差的差值之比，等于混合前溶液的质量比，具体做法如下图： 右边红色方框中，根据比例关系，可知溶液1的质量为60，即需要50%的溶液60克，每次最多加14克，故需要60/14=4+次，故最少需要5次。 可以看出，十字交叉法相对于传统方程解法来说，跳过了（或简化了）列方程和解方程的过程，在一定程度上确实可以提高求解速度。 Q2：凭什么可以这么做？ 其实，解法二的十字交叉的过程，其实就是对解法一方程的整理过程。从（100+14x）×25%=100×10%+14x×50%，整理有：100×（25%-10%）=14x×（50%-25%）。即：14x：100=15%：25%。 即十字交叉法的本质是对方程的简化。 如果将原来的溶液质量看成A，其浓度10%写作a；后来加入的溶液质量看成B，浓度50%写成b，混合后的浓度25%写成c，则①式可抽象写成“A×a+B×b=(A+B)×c”这样的等量关系，而上式很容易整理得到：（c-a）：（b-c）=B：A。（这个不就是上面红框中的部分？！） Q3：哪些题型可以用这种方法？ 能使用十字交叉法的前提条件是：题目中隐含“A×a+B×b=(A+B)×c”这类等量关系。 在上式中，A和B可以看做A+B这个整体的其中两部分，故而，涉及整体与部分的题目，都有可能用到十字交叉法。（你想到了什么？） 随a,b,c代表的含义不同，可得十字交叉法的常用题型如下： （1）浓度→溶液混合问题。 例：食盐溶液A的浓度为12%，食盐溶液B的浓度为5%，两者混合后浓度为10%，则有： 可得：溶液A与B的质量比为5：2。 （本质为根据溶质相等，有：A×12%+B×5%=（A+B）×10%） （2）平均数→平均数问题。 例：某次考试1班的平均分为86分，2班的平均分为80分，两班的总平均分为82分，则有： 可得：1班人数与二班人数之比为1：2。 （本质为根据总分相等，有：1班人数×86+2班人数×80=（1班人数+2班人数）×82） （3）增长率→混合增长率。 例：2014年全国城镇人口同比增长6%，乡村人口同比增长3%，总人口同比增长4%，则有： 可得：2013年城镇与乡村人口之比为1：2，注意是2013年的！ （本质为根据人口增长量相等，有：城镇基期×6%+乡村基期×3%=（城镇基期+乡村基期）×4%） 说明1：资料分析中的大多混合增长率的题目，不需用到十字交叉法，只需我们之前总结的“整体增长率介于部分增长率之间，偏向基期量较大的那一部分的增长率”即可解决问题。 说明2：特殊情况下，之前的结论无法直接得到答案，需要用到以上的十字交叉法来计算某个部分或整体的增长率（已知城镇人口和乡村人口）。 （4）比重→部分的比重与整体的比重。（这个好像还没在真题中出现过） 例：城镇人口中男性比重为52%，乡村人口中男性比重为57%，全国总人口中男性人口比重为55%，则有： 可得：城镇人口与乡村人口之比为2%：3%=2：3 （本质为根据男性人数相等，有：城镇×52%+乡村×57%=（城镇+乡村）×55%） （5）其他比如利润率啥的，有时也能用到十字交叉，但使用频率太低，且可以通过方程轻松解决，不再单独说明。 Q4：近几年有哪些真题用十字交叉法比较容易？ 【2016新疆】甲、乙两个相同的杯子中分别装满了浓度为20%和30%的同种溶液，将甲杯中倒出一半溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，然后再将甲、乙混合后的溶液全部倒入一杯清水中且未溢出，溶液浓度为20%。如该溶液比重与水完全相同，问原甲杯中溶液的质量是这杯清水的质量的多少倍？（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 分析：甲杯倒出一半溶液后用乙杯溶液加满，此过程中甲乙用于混合的溶液质量比为1：1，可知混合后的溶液溶度为25%，后与清水混合成20%的溶液，根据十字交叉法，有： 容易得到，甲质量与清水质量比为20：5=4：1。 【2014四川】2012年，我国矿产品对外贸易活跃，进出口额9919亿美元，同比增长3.6%，其中，进口额同比增长1.4%，出口额同比增长7.6%。2011年我国矿产品进口总额约是出口总额的多少倍？（ ） A.1.5 B.1.8 C.2.1 D.2.5 分析：已知进口额和出口额，以及进出口额的增长率，求进口额和出口额的基期量之间的倍数关系，可直接使用十字交叉法： 可得：所求比值为4%：2.2%=1.8。 【2013河南】2011年，民航行业完成运输总周转量577.44亿吨公里，比上年增长7.2%。其中旅客周转量403.53亿吨公里，增长12.2%，货邮周转量173.91亿吨公里。2011年货邮周转量比去年（ ）。 A.减少了2.8% B.减少了12.8% C.增加了2.8% D.增加了12.8% 分析：已知总周转量和旅客周转量的增长率，求货邮周转量的增长率，考察混合增长率概念。根据结论“整体增长率介于部分增长率之间，且偏向基期量较大的增长率”，货邮周转量小于7.2%，排除D选项。且由于旅客周转量的基期明显大于货邮周转量，故总周转量的7.2%离12.2%更近（差为5%），即货邮周转量增长率<>（7.2%与2.2%差为5%），排除C选项。A和B选项无法排除。 使用十字交叉法： 最右侧的比值可以用现期比值近似估计，约为404：174≈2+，即（7.2%-x）/5=2，可解得x=-2.8%。 说明1：十字交叉法中做差时，都是用大数减去小数。 说明2：在混合增长率问题里，优先考虑根据结论直接排除选项解题，不到万不得已，不建议使用十字交叉法估算（计算量过大）。 赵伟东 2016年7月28日 |
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