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现代数学中的新理论--突变理论 突变理论“热”轰动一时，是20世纪60年代末和70年代初的又一大新闻。 许多年以来，自然界许多事物的连续的、平滑的运动变化过程，比如象地球围绕太阳旋转那种连续变化的自然现象，都可以用微积分的方法给以解释，并加以计算和预测，得到圆满的解决。我们可以说，经典的微积分是连续变化的数学模型。但是，当遇到充满突变和跳跃的自然现象来说，不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分也无法解决。火山的爆发、岩石的破裂、桥梁的断塌，细胞的分裂、胚胎的变异、地震突然发生、蝗虫急速繁殖，病人忽然休克，如此等等，由量变突然发展为质变，乃是司空见惯的现象。不但自然界存在着许多突变现象，即使在生物界和社会科学领域也有很多突变现象。比如一只既惊又恐的狗似乎要咬人，但只要稍加恐吓就会掉头逃跑，而一只似乎要跑的狗，因涉及到被逼迫的刺激而突然地放弃逃走的念头，转为进攻（即所谓狗急跳墙）。一个国家对另一个国家的威胁变得太大，突然的造成不宣而战；市场上稳定的经济增长，因受到许多涨落的影响而突然的价跌千丈等等，突变现象不一而足。有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这引起数学家的重视。法国数学家勒内·托姆(Renè Thom,1923~ )——菲尔兹奖获得者，从1968年开始陆续发表文章，论述“突变理论”。1972年，出版《构造稳定性和形态发生学》一书，明确的阐明了突变理论的内容，宣告了突变理论的诞生，一时风靡世界。英国齐曼（Zeeman）教授称突变理论是“数学界的一次智力革命——微积分以后最重要的发现”。 突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具，并通过对稳定性结构的研究，说明了有的事物不变，有的渐变，有的则是突变，从而提出了一系列的数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从性状的一种形式突然地跳跃到根本不同的另一种形式。按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。 托姆是一位卓有成就的拓扑学家，他以协边理论的创造驰名于世。60年代以来，他致力于高维空间曲面的研究，用微分拓扑的方法分析曲面的奇点，并进行分类。托姆提出，发生在三维空间和一维时间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐型突变、椭圆脐型突变以及抛物脐型突变等。例如，水由液体转化为气体、甚至由液体凝结为固体，水的这几种质态之间相互转化的模型，可用突变理论中的尖顶突变来描述。在光学中，一束光线（即一小组相邻的光线）有可能是以某种方式聚焦的，于是，它们汇集在一个平面上，甚至一条线上或一个点上，而不再充满于一个空间区域。它的强度可以很大，如果你拿一个放大镜放在阳光下，光线被聚集照射在纸片上，不一会纸片就会燃烧起来。与聚焦现象相反的是散焦现象。使一束光线聚焦或散焦的曲面分别称为焦聚面与焦散面。在光学中，借助于突变理论找到了光的焦聚散面的全部可能形式，这是突变理论应用到光学研究中的著名成果之一。夏日雨过天晴，在蔚蓝的天空中常常会出现一条五彩缤纷的彩虹。我们知道，虹是由于阳光照射到空中的水滴里，发生反射与折射而造成的；当我们在平静无风的海面航行或站在海边瞭望，往往会看到空中映现出远方船舶、岛屿、或城郭楼台的映像；在沙漠里旅行，有时也会发现远处突然有一片湖水，湖面树影摇曳。可是大风一起，这些景象就突然消失了，原来这是一种幻景，人们称为海市蜃楼。海市蜃楼的产生也是光线反射和折射的结果。另外据报导，在中纬度和低纬度的海区，在海深一千米左右处存在一个稳定的声道（这是海中的某一水层，声音能够被限制在这个“通道”内传播到很远的地方，而不会“溢”出去），这种现象的产生是由于在深海中存在一个稳定的极小声音速度层的缘故。实际上，雨过天晴出现的彩虹和海市蜃楼的形成都与散焦有关，深海声道的产生也涉及到声波的散焦，而散焦现象是可以用尖顶型突变来解释的，也就是说，光与声的散焦是一种突变过程。氢氧化物的水溶液有三种基本性质：强酸性；强碱性；不电离。显然，只要选择适当的控制变量，在控制平面上这些性质存在的中介状态，即弱碱、弱酸和两性区的分布应用蝴蝶突变来描述。尖顶突变型和蝴蝶突变型是几种质态之间能够可逆转化的模型。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变为死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变型、燕尾突变型等势函数最高为奇次的模型来把握质量互便过程。突变理论解释的题目涉及到胚胎学、人性学、医学、生态学、地质学、地震学、光学、化学、协同学、激光、船舶稳定，以至囚犯骚动、战争爆发、市场崩溃等等，几乎无所不包。突变理论的研究对于深入讨论哲学上的质量互变规律，有很大意义。一百年前，黑格尔从大量的现象中第一次概括出质量互变规律，然而，一直没有出现过阐述这条规律的数学理论。所以，深入地研究突变理论，并从中吸取营养，将会促进质量互变理论的发展。 齐曼在“突变热”中起了很大推动作用，他是英国沃里克大学著名的数学教授，早年也致力于拓扑学，颇有建树。当他接触托姆的理论后，便被吸引住了。他组织了一个研究团体，悉心钻研，扩展应用，短短几年，论文已有400多篇，可称极一时之盛。前苏联拓扑学家阿诺尔德（Arnold）也做了许多漂亮的工作。至于应用则集中在物理、化学和工程学方面，凡是涉及几种稳定态（如气相、液相、固相都是相对稳定的）之间的跃迁变化，只要因素变化的数目不超过4，都有可能应用突变理论，至少可以做定性的描述，有些则能得出定量的结果。 现代科学日新月异，新鲜事物层出不穷，人们称突变理论是鲜花盛开的科学百花园中的一枝奇葩，它与比利时布鲁塞尔自由大学教授著名化学家普里高津的“耗散结构理论”，联邦德国斯图加特大学理论物理学家哈肯教授的“协同论”，构成今天的所谓“新三论”。我们完全相信，随着对突变理论研究工作的不断深入和应用范围的日益扩大，它将会成为数学中名副其实的新兴分支，而与微积分并光辉 |
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