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不才 来自深圳师者情怀 00:00 03:40 当前，“核心素养”引发了教育界的广泛热议。今天本号推送著名数学教育专家、原大连教育学院副院长、国务院特殊津贴获得者孙宏安教授的近作。该文从思路、基础、探讨和结论等四个方面展开论述，最终比较准确地定位了数学素养：数学素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力。必备品格是指具有必要的数学知识，具有数学应用意识、数据意识和计算意识，具有科学态度和正确的数学价值观。关键能力包括空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、数据能力，包括数学抽象和概括能力、数学表达和交流能力等。本文观点新颖独到，论述严谨，令人叹服。品读本文，相信定能引发大家对素养、核心素养、数学素养的思考、讨论与实践探索。（深圳市宝安区官田学校 叶建云，深圳高级中学黄元华微信hyh7261917） 数学素养探讨 《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（2014，以下简称《意见》）指出：课程改革的深化“将提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践”。在具体的课程改革中，将基于学科本质观来确立学科素养，基于学科素养来选择学科课程内容，基于学科课程内容来研究学业质量评价标准。确定数学素养则是深化数学课程改革的一项重要任务。《意见》指出了核心素养就是学生发展的根本目标，又指出“核心素养”就是“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，这为界定数学素养指出了方向。我们可以在这个核心素养界定下探讨各个学科素养，一般来说，各个学科素养应该就是核心素养在各该学科的“投影”，或者说核心素养就是各个学科素养的整合。 1、思路 这样对数学素养的研究就有两种思路：一，由学生发展的核心素养，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，进行数学或者数学教育领域的抽象，从而得出数学素养；二，由数学学科可能为学生提供的品格和能力出发，整合出可以作为学生的某些必备品格和关键能力的因素，就是数学素养，最后可以由各学科素养整合（具体化）为学生发展的核心素养。前一思路是由具体到抽象的思维展开途径；后一思路是由抽象到具体的思维上升过程。 关于数学素养国内早有研究，按照一位研究者的综述，20世纪50年代就有散在的自发性研究，90年代起跨世纪期间进行了多元性研究，本世纪10年代以来，人们进行了趋于统一性的研究。数学素养的说法正式进入了国家课程标准，特别是上海市数学课程标准对数学素养进行了正式的界定。国内2009年参加PISA测试以来，研究者广泛引用了以PISA数学测试的数学素养表述为代表的国外的各种数学素养界定，并进行了一些本土化工作。[[1]黄友初，我国数学素养研究分析[J]，课程·教材·教法，2015（8）：55-59][1]此外，对数学能力国内也早就进行了比较详尽的全面的研究；对与数学学习相关的若干必备品格，例如思维品质、价值观、应用意识、创新意识等也有不少研究；特别是国内对数学教育有着系统的深入的研究，得到了极其丰硕的成果。这些都是我们探讨数学素养的基础性条件。 2、基础 2.1国内的数学素养表述 数学素养是什么？前面说的每一种研究都落实到对这一个问题的一种表述。国内对数学素养的表述一般地可以分为两类。 一类是从素养是一种心理状态或者特征出发作数学的限定，也就是对素养作数学领域的抽象。一个例子是：“数学素养指学生在已有数学经验的基础上，通过数学活动对数学的体验、感情和反思，并在真实情境中表现出来的一种综合性特征。广义的讲是一种综合特征，狭义的讲，是指在真实情境中有意识地应用数学知识与技能理性地处理问题的行为特征。”[[2]康世刚、宋乃庆，论数学素养的内涵及特征[J]，数学通报，2015（3）：8-11][2]说这是对素养做数学限定或者抽象而得出的是有依据的：只要把上面引文中的“数学”换成其他学科例如物理、化学、地理、历史等，就会发现，这段话仍然成立，表明着这个定义并不是从数学活动或者数学教育活动中概括出来的，是由“素养”概念或者由“特征”概念限定（抽象）出来的或者说演绎出来的。 另一类是由数学学科（教学科目）活动中概括出来的，例如：数学素养“就是数学思维能力，亦即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力”。[[3]张奠宙、李仕錡、李俊，数学教育学导论[M]，高等教育出版社，2004：54][3] 这两类表述并不是互相对立的，恰恰相反，它们是互相兼容而且互补的。前一类可以称为“属概念+种差”的定义，后一类可以称为“指明外延”的定义，它们在逻辑上都是合式的，本质上则是一致的。有一位作者同时运用了两种表述：“数学素养是指学生为了满足自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体。”实际上就是运用了“数学素养是数学领域的核心素养”这样的抽象表述。但是接着又指出：“数学素养的构成要素为：数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观。”指明了数学素养的外延！[[4]何小亚，学生“数学素养”指标的理论分析[J]，数学教育学报，2015（1）：13-20][4]回到本文开头说的研究数学素养的两种思路，在本例中是由前一种思路得出数学素养的内涵，由后一思路得出数学素养的外延或者结构。 2.2外国的数学素养表述 国外的被我们翻译为数学素养的词语有：Mathematical Literacy，Numeracy，Mastery of Mathematics，Mathematical Competence，Mathematical Proficiency等，不同国家不同学者用的不同词语的意义略有差。举出两种。 2.2.1 PISA测试的数学素养表述 PISA（Programme for International Student Assessment，PISA；中文：国际学生评估项目）是经合组织（OECD）发起的学生能力国际比较研究项目（从2000年开始每三年测试一次），测试主要聚焦在阅读素养、数学素养和科学素养上。 2012年PISA测试对数学素养的定义是： 数学素养是个体能够在不同情境中形成、运用和解释数学的能力，包括数学推理，运用数学概念、程序、事实和工具来描述、解释、预测。能帮助个体理解数学在社会生活中的作用，做出好的判断和决策，成为一个有建设性、参与性和反思能力的公民。[[5]参见：国际学生评估项目上海项目组，质量与公平——上海2012年国际学生评估项目（PISA）结果概要[M]，上海教育出版社，2015:8][5] 要运用已有的数学概念、知识和技能解决真实情境的问题，而问题解决是一个过程。首先需要把情境数学化，叫做数学表述；接着需要利用数学的概念、原理和方法解决数学问题，得到数学结果，称为数学应用；然后需要结合情境来解释该结果在情境中的意义，并评估结果针对原始问题的合理性。 在问题解决的过程中，学生需要灵活运用数学的基本能力，包括：沟通（交流）；数学化；表述；推理和论证；设计策略；使用符号化的、正式的术语和运算；使用数学工具。 第一段是一个按第一种思路做出的定义，“能力”是属概念，“个体能够在不同情境中形成、运用和解释数学”是种差，后面的分句是对种差作解释；下一句话则是指出个体具有数学素养的意义。下两段按第二种思路对数学素养作了外延分析。 2.2.2 美国NRC提出的数学素养 美国国家研究委员会（National Research Council，NRC）之下的数学学习研究委员会（MLSC）2001年把数学素养表述为描述成功数学学习的关键用词和所有学生须达到的学习目标，数学素养由概念理解、过程流畅、策略能力、合适推理和价值倾向等5个相互交织、互为依存的要素构成。这一数学素养的表述后来影响到整个西方世界。[[6]廖运章，美国NRC数学素养观及其影响[J]，外国中小学教育，2015（2）：59-65][6]其中的策略能力指的是提出、表征和解决数学问题的能力；价值倾向指把数学看作理性、有用、有价值的习惯性倾向，以及自我努力和自我效能的信念。这个定义非常重视过程，第三个和第四个要素指的就是过程。 先把数学素养定义为某种关键词和学习目标，这是一种“属概念+种差”的形式定义，然后阐述了数学素养的外延，重点在于这个“指明外延”的定义。 2.3国内数学教育研究的成果 国内数学教育研究的成果，相当集中地体现在普通高中的课程标准之中。课标“前言”就指出：“数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。”“课程目标”则指出：“进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。”这也是一个“属概念+种差”的“形式”定义，指出了需要但是没有说需要的是什么。 在“课程目标”中对数学素养的组成（外延）做了详细的论述，摘录如下。 “获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法。 提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 提高数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。 提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。” 3、探讨 如前文，作为基础举出的国内外数学素养表述的共同点是其方法：先按前面指出的第一种思路得出一个“属概念+种差”的定义，然后再采用第二种思路得到“指明外延”的定义，两者结合起来正好就是数学素养概念的内涵和外延，完成了对数学素养是什么的回答。其不同点在于所给出的属概念和所分解的外延的差别。 我们的数学素养探讨就是沿《意见》指出的定义数学素养的方向，整合作为基础性条件的国内外对数学素养的表述，得出一个清晰明确简洁而反映数学学科本质的数学素养表述。采用的就是前引表述的共同性方法：用第一种思路得到数学素养的内涵表述，用第二种思路得出数学素养的外延表述。 3.1 内涵探讨 需要对前举的所有的内涵定义的属概念在《意见》指出的方向上加以整合。 按照《意见》“核心素养”就是“适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，于是“必备品格和关键能力”就是“核心素养”的属概念。那么作为核心素养的下位概念的“数学素养”能不能以“适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力”为属概念呢？可以做一点儿数学说明。 数学上可以设种概念和属概念的关系为“包含于（?）”： 就是说用“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念与文献[2]的数学素养表述是协调的。 PISA测试的数学素养直接以能力作为属概念，其中数学素养对个人的意义的描述就是指的数学所带来的品性特征也就数学引起的必备品格。与“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念是完全一致的。 NRC把数学素养定义为某种关键词和学习目标，这是一种“属概念+种差”的形式定义，其属概念“关键词和学习目标”是一种“空格”形式，可以填写想填写的内容，因此与“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念是无矛盾的。 我们的高中课程标准也做出了这样一个形式定义，只列出了“空格”（需要），但是没有填空（需要什么），因此与“数学领域的必备品格和关键能力”作为数学素养的属概念也是无矛盾的。 3.2 外延探讨 从数学课程标准出发来探讨数学素养的外延，前面举出高中数学课程标准的课程目标是一个数学素养的指明外延的定义。在这个外延定义中，对关键数学能力和必备的数学品格都做了解构。 关于数学能力的外延，课程标准做了从数学活动出发和从能力推导的混合式表述，先提出空间想象能力、抽象概括能力，推理论证能力、运算求解能力，数据处理能力；然后换一个角度，再提出数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力。我们以此为基础整合一下对数学能力的表述。 文献[3]指出数学能力“就是数学思维能力，亦即数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力”。强调了数学思维能力，在课标中数学思维能力被分解为抽象概括能力和推理论证能力；PISA强调推理和论证能力，NRC强调的是“合适推理”，意思是即不仅仅是逻辑推理还要有合情推理能力，其实合情推理也没有超越逻辑推理的范畴，所以用逻辑推理表述推理论证的要求还是可行的；抽象和概括是思维的两个方向，NRC说的“概念理解”就离不开思维的这两个方向。要谈思维能力，概括是极其重要的，所谓知识的迁移就在于概括。当然，思维能力不仅仅是数学能力，更是人的一般能力，任何一个学科教育教学都有培养思维能力的任务，所以很多时候人们说的数学能力并不直接包括思维能力在内。有时为了强调数学中的思维能力，可以加上数学限制表明是数学能力，就是数学思维能力，按前面的分析可以整合为“数学抽象概括能力和逻辑推理能力”。 运算是数学活动的一大特点，许多数学活动都会归结为计算，特别是通过计算工具计算机的计算，一个计算是由许多运算组成的，说到运算往往就指“一次基本计算例如加法乘法的计算”，我们说一台计算机的计算速度为3千万亿次运算/秒，指的就是3千万亿次加法运算，运用计算机进行若干次组织起来的运算解决一个问题叫做进行一次计算。在数学教学大纲中是“计算”“运算”反复改来改去的，如果考虑PISA数学素养的“使用数学工具的能力”和“运用数学概念、程序、事实和工具”的素养要求的话，还是叫做计算能力为全面，不仅实施基本运算而且需要编制计算程序研究计算方法（就是某个计算需要的各种运算的组织方法）。 关于数据的数学能力课程标准用“数据处理能力”，而实际上，对数据的需要是由数据识别、收集、处理、分析、运用多个环节组成的，而其中数据分析的环节就可能比数据处理更为重要，所以这个涉及数据的能力就整合叫做“数据能力”好了。 课标的一个重点是数学解决问题的能力，这一点在其他所有的论述中都得到同样的重视，PISA测试说的比较详细，指出解决问题包括抽象出数学问题即数学表述，得到数学结果即数学应用，解释和评估数学结果针对原始问题的合理性这样一系列的过程。这个问题解决过程一般地就是建立并使用数学模型的过程，因此相关的能力有时就称为“建模能力”；又由于建模不仅仅是数学的要求，物理、化学甚至历史、政治也有建模能力的需要，因而也需要加以数学限制：数学建模能力。 至于表达和交流是人的发展的一个最基本的途径，是任何学科都需要的，为了“全面”起见，可以加上数学限制列入数学的关键能力。 数学课程标准的数学素养外延表述除了能力之外都可以视为“必备品格”的要求，结合其他论述，我们整合如下： 首先是数学知识方面，要获得必要的数学知识（按广义的知识理解，数学技能、数学概念、数学思想数学方法都包括在知识之中）。因为能够教会的作为教学目标的能力可以而且必须用广义的知识来解释，离开对学科知识的思维（认知）过程就无法形成学科的关键能力。本文开头说的“在具体的课程改革上，将……基于学科素养来选择学科课程内容”指的就是选择形成数学关键能力必要的数学知识构成数学课程内容。 其次是数学意识方面，应用意识自不必说了，其余应该是数据意识——从数据的角度思考问题分析问题是大数据时代的基本要求，还有就是计算意识——随时自觉的运用数学工具，以适应普适计算和物联网时代的到来。 再次是科学态度和正确的数学价值观，它们可以涵盖所有关于兴趣爱好、世界观、价值观念、决策判断、参与和反思、理性精神、审美情趣等的要求。 4、结论 本文探讨的结果是： 数学素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力。必备品格是指具有必要的数学知识，具有数学应用意识、数据意识和计算意识，具有科学态度和正确的数学价值观；关键能力包括空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、数据能力，包括数学抽象和概括能力、数学表达和交流能力，还包括数学地提出、分析和解决问题的能力（数学建模能力）。 本文原载于：中学数学教学参考（上旬，2016（4）：7-10， 后被收入：人民大学复印报刊资料，高中数学教与学，2016（7）：7-10 作者简介：孙宏安，教授，原大连教育学院副院长、辽宁师范大学硕士研究生导师，国务院特殊津贴获得者。研究方向：课程与教学论、数学史、科学教育。出版著作《中国古代科学教育史略》《中国近现代科学教育史》《杨辉算法译注》《科学教育概论》《世界数学通史》《课堂教学目标研究》《中国古代数学思想》《红楼梦数术谈》等80余部，发表“课程概念的一个阐释”“中国古代科学发展的文化背景”“数学应用对数学发展的作用”“中美科学课程标准比较”“中美数学课程目标比较”“数学素养探讨”等文章200多篇。 |
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