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高数二知识点

2017-07-06  尚世ajdj1...

专科起点升本科高等数学(二)知识点汇总

常用知识点:

一、常见函数的定义域总结如下:

y,kxb(1)一般形式的定义域:x?R 2y,axbxc

k(2) 分式形式的定义域:x?0 y,x

(3) 根式的形式定义域:x?0 y,x

(4) 对数形式的定义域:x,0 y,logxa

二、函数的性质

1、函数的单调性

f(x)时,恒有所在的区间上是增加的。 x,xf(x),f(x)xx121212

f(x)时,恒有所在的区间上是减少的。 x,xf(x),f(x)xx1212122 函数的奇偶性

y,f(x)Dx,D,x,D定义:设函数的定义区间关于坐标原点对称(即若,则有)

f(x)f(,x),f(x),x,D(1) 偶函数——,恒有

f(x)f(,x),,f(x),x,D(2) 奇函数——,恒有 三、基本初等函数

(,,,,,)y,c1、常数函数:,定义域是,图形是一条平行于轴的直线。 x

uy,x2、幂函数: (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。 uu3、指数函数

x定义: (是常数且a,0a,1).图形过(0,1)点。 y,f(x),aa

4、对数函数

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定义: (是常数且)。图形过(1,0)点。 a,0a,1y,f(x),logxaa

5、三角函数

y,sinx(1) 正弦函数:

D(f),(,,,,,)f(D),[,1,1] T,2,

(2) 余弦函数: . y,cosx

D(f),(,,,,,)f(D),[,1,1] T,2,

(3) 正切函数: . y,tanx

,f(D),(,,,,,) . T,,D(f),{x|x,R,x,(2k1),k,Z}2(4) 余切函数: . y,cotx

D(f),{x|x,R,x,k,,k,Z}f(D),(,,,,,) . T,,

5、反三角函数

,,y,arcsinxD(f),[,1,1](1) 反正弦函数: f(D),[,,]22

D(f),[,1,1]f(D),[0,,](2) 反余弦函数: y,arccosx

,,D(f),(,,,,,)(3) 反正切函数: y,arctanx f(D),(,,)22

D(f),(,,,,,)f(D),(0,,)y,arccotx(4) 反余切函数:

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直

接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

(1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。

(4)利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则 limu,Alimv,B ,则 x,,x,,

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(1) lim(u,v),limu,limv,A,Bx,,x,,x,,

(2). lim(u,v),limu,limv,ABx,,x,,x,,

推论

(a) (为常数) lim(C,v),C,limvCx,,x,,

nn(b) limu,(limu),,,,xx

limuuA,x,(3)lim (). B,0,,,x,vlimvBx,,

nn,1P(x)(4)设为多项式 P(x),axaxalimP(x),P(x)n001x,x0

P(x)P(x)0P(x),Q(x)Q(x),0(5)设均为多项式, lim,x,x0Q(x)Q(x)0三、等价无穷小

ln(1x)~x常用的等价无穷小量代换有:当时,x,0sinx~xarcsinx~xtanx~xarctanx~x

1x2e,1~x1,cosx~x 2

对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为:当? ,0时,sin? ~? ,其余类似。

四、两个重要极限

sinxlim,1重要极限I x,0x

sin? lim,1它可以用下面更直观的结构式表示: ? ,0?

x1,,lim1,e重要极限II ,,x,,x,,

? 1,,,elim1其结构可以表示为: ,,? ,,? ,,

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八、洛必达(LHospital)法则

'()()fxfx0,,”型和“”型不定式,存在有(或)。 limlim,,A'x,ax,a0,()gx()gx一元函数微分学

一、导数的定义

y,f(x),设函数在点的某一邻域内有定义,当自变量处取得增量(点仍在该邻域内)时,相xxx,xxx000

,y应地函数取得增量。如果当时,函数的增量与自变量的增量之比的极限 y,x,0,x,y,f(x,x),f(x)00

f(x,x),f(x),y00,limlim== 注意两个符号在题目中可能换成其他的符号表示。 ,xf(x)x00,x,0,x,0,x,x

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

,(C),0(1)C (为常数)

,,,1,(2)(为任意常数) (x),,x,

xxxx,,(a,0,a,1)(3) 特殊情况 (a),alna(e),e

111,,(x,0,a,0,a,1)(logx),loge,(lnx),(4) aaxxlnax

,(sinx),cosx(5)

,(cosx),,sinx(6)

1'(tanx),(7) 2cosx

1'(cotx),,(8) 2sinx

1'(,1x1)(arcsinx),(9) 21,x

1'(arccosx),,(,1x1)(10) 21,x

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1'(11)(arctanx), 21x

1'(12)(arccotx),, 21x

2、导数的四则运算公式

,,,[u(x),v(x)],u(x),v(x)(1)

,,,[u(x)v(x)],u(x)v(x)u(x)v(x)(2)

,,[ku],ku(3)(为常数) k

,,,u(x)u(x)v(x),u(x)v(x)(4) ,,,2v(x)v(x)

y,f(u)u,,(x)f(u),(x)y,f[,(x)]3、复合函数求导公式:设, ,且都可导,则复合函数的导数为

dydydu', f(u).(x),,,,dxdudx

三、导数的应用

1、函数的单调性

'f(x)(a,b)内严格单调增加。 f(x),0

'f(x)(a,b)内严格单调减少。 f(x),0

2、函数的极值

'f(x)的点——函数的驻点。设为 xf(x),00

''f(x)(1)若时,;时,,则的极大值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

''f(x)(2)若时,;时,,则的极小值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

'(3)如果的两侧的符号相同,那么不是极值点。 xf(x)f(x)003、曲线的凹凸性

''(a,b)y,f(x),则曲线内是凹的。 f(x),0

''(a,b)y,f(x),则曲线内是凸的。 f(x),0

4、曲线的拐点

''''y,f(x)f(x),0(1)当x的左、右两侧异号时,点(x,f(x))为曲线的拐点,此时. f(x)0000

''y,f(x)(2)当x的左、右两侧同号时,点(x,f(x))不为曲线的拐点。 f(x)0005、函数的最大值与最小值


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