高数二知识点

专科起点升本科高等数学(二)知识点汇总

常用知识点:

一、常见函数的定义域总结如下:

y,kx，b(1)一般形式的定义域:x?R 2y,ax，bx，c

k(2) 分式形式的定义域:x?0 y,x

(3) 根式的形式定义域:x?0 y,x

(4) 对数形式的定义域:x,0 y,logxa

二、函数的性质

1、函数的单调性

f(x)当时，恒有，在所在的区间上是增加的。 x,xf(x),f(x)x，x121212

f(x)当时，恒有，在所在的区间上是减少的。 x,xf(x),f(x)x，x1212122、 函数的奇偶性

y,f(x)Dx,D,x,D定义:设函数的定义区间关于坐标原点对称(即若，则有)

f(x)f(,x),f(x),x,D(1) 偶函数——，恒有。

f(x)f(,x),,f(x),x,D(2) 奇函数——，恒有。 三、基本初等函数

(,,,，,)y,c1、常数函数:，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。 x

uy,x2、幂函数:， (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。 uu3、指数函数

x定义: ， (是常数且a,0，a,1).图形过(0,1)点。 y,f(x),aa

4、对数函数

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定义: ， (是常数且，)。图形过(1,0)点。 a,0a,1y,f(x),logxaa

5、三角函数

y,sinx(1) 正弦函数:

D(f),(,,,，,)f(D),[,1,1]， ， 。 T,2,

(2) 余弦函数: . y,cosx

D(f),(,,,，,)f(D),[,1,1]， ， 。 T,2,

(3) 正切函数: . y,tanx

,f(D),(,,,，,)， ， . T,,D(f),{x|x,R,x,(2k，1),k,Z}2(4) 余切函数: . y,cotx

D(f),{x|x,R,x,k,,k,Z}f(D),(,,,，,)， ， . T,,

5、反三角函数

,,y,arcsinxD(f),[,1,1](1) 反正弦函数: ，，。 f(D),[,,]22

D(f),[,1,1]f(D),[0,,](2) 反余弦函数: ，，。 y,arccosx

,,D(f),(,,,，,)(3) 反正切函数: y,arctanx，，。 f(D),(,,)22

D(f),(,,,，,)f(D),(0,,)y,arccotx(4) 反余切函数: ，，。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直

接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

(1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。

(4)利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则 limu,Alimv,B设， ，则 x,,x,,

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(1) lim(u,v),limu,limv,A,Bx,,x,,x,,

(2). lim(u,v),limu,limv,ABx,,x,,x,,

推论

(a)， (为常数)。 lim(C,v),C,limvCx,,x,,

nn(b) limu,(limu),,,,xx

limuuA,x,(3)lim， (). B,0,,,x,vlimvBx,,

nn,1P(x)(4)设为多项式， 则 P(x),ax，ax，？，alimP(x),P(x)n001x,x0

P(x)P(x)0P(x),Q(x)Q(x),0(5)设均为多项式， 且， 则 lim,x,x0Q(x)Q(x)0三、等价无穷小

ln(1，x)~x常用的等价无穷小量代换有:当时，，，，，，x,0sinx~xarcsinx~xtanx~xarctanx~x

1x2e,1~x1,cosx~x，。 2

对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为:当? ,0时，sin? ~? ，其余类似。

四、两个重要极限

sinxlim,1重要极限I 。 x,0x

sin? lim,1它可以用下面更直观的结构式表示: ? ,0?

x1,,lim1，,e重要极限II 。 ,,x,,x,,

? 1,,，,elim1其结构可以表示为: ,,? ,,? ,,

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八、洛必达(L’Hospital)法则

'()()fxfx0,,“”型和“”型不定式，存在有(或)。 limlim,,A'x,ax,a0,()gx()gx一元函数微分学

一、导数的定义

y,f(x),设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，相xxx，,xxx000

,y应地函数取得增量。如果当时，函数的增量与自变量的增量之比的极限 y,x,0,x,y,f(x，,x),f(x)00

f(x，,x),f(x),y00,limlim== 注意两个符号和在题目中可能换成其他的符号表示。 ,xf(x)x00,x,0,x,0,x,x

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

,(C),0(1)C (为常数)

,,,1,(2)(为任意常数) (x),,x,

xxxx,,(a,0,a,1)(3) 特殊情况 (a),alna(e),e

111,,(x,0,a,0,a,1)(logx),loge,(lnx),(4)， aaxxlnax

,(sinx),cosx(5)

,(cosx),,sinx(6)

1'(tanx),(7) 2cosx

1'(cotx),,(8) 2sinx

1'(,1，x，1)(arcsinx),(9) 21,x

1'(arccosx),,(,1，x，1)(10) 21,x

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1'(11)(arctanx), 21，x

1'(12)(arccotx),, 21，x

2、导数的四则运算公式

,,,[u(x),v(x)],u(x),v(x)(1)

,,,[u(x)v(x)],u(x)v(x)，u(x)v(x)(2)

,,[ku],ku(3)(为常数) k

,,,，，u(x)u(x)v(x),u(x)v(x)(4) ,,,2v(x)v(x)，，

y,f(u)u,,(x)f(u),(x)y,f[,(x)]3、复合函数求导公式:设, ，且及都可导，则复合函数的导数为

dydydu',。 f(u).(x),,,,dxdudx

三、导数的应用

1、函数的单调性

'f(x)(a,b)则在内严格单调增加。 f(x),0

'f(x)(a,b)则在内严格单调减少。 f(x),0

2、函数的极值

'f(x)的点——函数的驻点。设为 xf(x),00

''f(x)(1)若时，;时，，则为的极大值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

''f(x)(2)若时，;时，，则为的极小值点。 x,xx,xf(x),0f(x),0f(x)000

'(3)如果在的两侧的符号相同，那么不是极值点。 xf(x)f(x)003、曲线的凹凸性

''(a,b)y,f(x)，则曲线在内是凹的。 f(x),0

''(a,b)y,f(x)，则曲线在内是凸的。 f(x),0

4、曲线的拐点

''''y,f(x)f(x),0(1)当在x的左、右两侧异号时，点(x,f(x))为曲线的拐点，此时. f(x)0000

''y,f(x)(2)当在x的左、右两侧同号时，点(x,f(x))不为曲线的拐点。 f(x)0005、函数的最大值与最小值