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卡尔曼滤波器又是一个经常听到，但又从来都不了解的东东。为了了解他，我先找到了他的定义，卡尔曼滤波器在工业上应用广泛（没具体调查过。。。），而且结构简单（看了半天没看懂。。。）的一种数字线性滤波器。看到这里，我发现滤波器我知道是什么，但数字线性滤波器是什么呢，如果这都不知道，怎么学卡尔曼呢。于是，我就转战学习数字线性滤波器。在很久很久以后，我终于了解了什么是数字线性滤波器（数字其实换一种表达就是离散的，与其对应的就是连续。所谓线性呢，就是滤波器由线性方程（很重要的概念，以后有时间再说）表达）。看完了，我自信满满的去看卡尔曼滤波器，发现然并卵，依然神马都看不懂。无奈之下，只得硬着头皮一点一点的看公式，一点一点的理解，这才大概了解了什么是卡尔曼滤波器。这就说明了，遇到问题，必须迎面而上，绕是绕不过去的。本来可能一两天能看明白，由于畏难情绪，我花了一周多的时间去看数字线性滤波器，事倍功半啊。下面进入正题，到底什么是卡尔曼滤波器。 --------------------------------------------分割线---------------------------------------? 在这里我要特别感谢xiahouzuoxin?，看了他的博客之后，茅塞顿开。他举了生动的例子，进行详细的讲解，重要的是给出了对卡尔曼内涵的理解。本文只是在其基础上，多加了一些我自己不懂得解释。详细的例子可以去看大神博客，地址如下：? http://blog.csdn.net/xiahouzuoxin/article/details/39582483? --------------------------------------------分割线---------------------------------------? 下面按照如下顺序介绍卡尔曼滤波器：1.问题的提出：介绍卡尔曼滤波提出的原因以及针对的问题。 2.核心思想：一句话表述卡尔曼滤波本质。 3.应用场景：卡尔曼滤波器应用方向、基础和前提。 4.实现方法：经典的五个公式（配注释哦）。 5.定性分析：从单变量入手分析卡尔曼滤波器，定性的了解核心思想（非常直观哦！）。 --------------------------------------------分割线--------------------------------------- 1.解决问题在对一个问题的线性估计（预测）中，估计（预测）出的结果会存在一定噪声（是个值得思考的问题），那么如何消除这个噪声呢？（可以看出，卡尔曼是为了消除噪声，这就是叫滤波器的原因吧。）那么很自然的我们可以想到用观测（直接测量估计量）来消除误差。但是，很不幸的是，观测的数据也会存在噪声（任何的测量都有误差）。下面问题归结表述为，已知估计值和测量值，以及估计和测量的误差，那么如何得到较为真实的数值？?借用xiahouzuoxin的图，可以更加直观的看到估计和测量噪声存在的原因。? 注：线性估计，就是根据当前状态和已有知识，推算出未来状态。举个例来说，已知当前小车速度和加速度，求取下一时刻速度。 2.核心思想假设测量和估计的噪声都是符合高斯分布的白噪声。那么一个可行的办法是，将两个噪声的概率密度相乘，得到一个新的概率密度来近似表达真值。 注：两个高斯分布概率密度相乘后还是高斯分布。至于为什么是两个概率密度相乘，我理解是一个类似于求质心的感觉。 3.应用场景3.1.观测系统以及估计系统均为线性离散系统，公式表述如下： 注：(1)式中x(n)为系统状态向量，u(n)是驱动输入向量，w(n)为估计噪声，A，B为常系数矩阵，其实就是状态空间中的状态方程。?(2)式中z(n)为观测（测量）结果，H(n)为观测矢量，v(n)为观测噪声。 3.2估计噪声和观测噪声均为符合高斯分布的白噪声。所谓的白噪声就是时域上分布为钟形线，频域上分布为一条直线的噪声信号。 3.3两个符合高斯分布的概率密度相乘后可以融合为一个新的高斯分布。这一点也就是卡尔曼滤波方法的核心，具体推导过程将在第5部分给出。建议大家可以先自己推导一遍，这将对下面内容的理解非常有帮助。 3.4总结一下卡尔曼滤波器的应用场景。在测量和观测系统都为线性离散系统，同时两个的系统参数已知，而且噪声为符合高斯分布的白噪声的情况下，可以利用卡尔曼滤波器对信号进行滤波处理。 4.实现方法下面给出卡尔曼滤波器经典的五个方程(我第一次看的时候也直接晕菜了，慢慢看其实很简单，如果看不懂先去看第5部分哦)，特别需要注意的是x(n|n)和x(n|n-1)是不一样的，可以将x(n|n-1)看作估计值（中间变量），x(n|n)才是当前最优估计值（结果）。同样，P(n|n)和P(n|n-1)也是这样的。此外，设估计噪声w(n)~N(0,Q)，测量噪声v(n)~N(o,R)。 4.1估计 由状态方程得到估计值，也就是x和P的中间值。 4.1.1状态估计 注：x(n-1|n-1)为上一时刻的最佳估计值。借用xiahouzuoxin的一张图，可以看出来其实估计值就是该时刻噪声的均值。 ???????4.1.2最小均方误差矩阵? 注：(1)最小均方误差矩阵可以理解为一维噪声方差的多维推广（理解时先当做方差）。 (2)P(n|n-1)是n时刻的方差矩阵的估计值，又由协方差自身性质，因此有如下公式： 4.2修正 卡尔曼滤波的核心公式，修正之前的估计值，得到当前时刻的最优估计值和最优最小均方误差矩阵。 4.2.1卡尔曼增益系数（误差增益） 注：K(n)为估计最小均方误差除以n时刻测量误差+估计最小均方误差，也就是估计误差占总误差的权重。 4.2.2修改后的估计值(第n时刻的最优估计值)： 注：x(n|n)是高斯融合后的最优估计误差均值，x(n|n-1)是估计误差均值，后面一项是由融合过程中推导出的增加量。我们先可以定性的分析一下。公式（5）K(n)较大时，即估计误差占比较大时，公式(6)中后一项数值相对也较大，也就是需要修改估计值的差值较大，也就说明了估计值比测量值误差大，因此数值要接近测量值。 4.2.3最小均方误差矩阵： 注：因为估计值被修改了，因此该估计值时刻的方差也应进行更新。? 5.定性分析假设有两个符合高斯分布的随机变量x,z，如下： 将两个概率密度函数相乘，得到： 将左式合并化简后，求出Up和方差： 如果令： 那么，（10）和（11）可表示为： 将公式（12）与（5）比较，（13）与（6）比较，（14）与（7）比较，可以发现他们的形式基本一致（令A=H=1），只不过5,6,7是多维矩阵推广形式。因此，我们也可以看出，卡尔曼增益稀疏是在化简过程中定义出来的变量。前面一直强调的，估计值就是误差的均值，最小均方误差就是误差的方差的概念，就是从这里得出的。 注：可以看出来高斯融合是有对称性的，也就是将x，z的位置对换公式也是成立的。现在的卡尔曼滤波器是以估计值作为基础的。如果，以观测值作为修改前的值，应该可以写出另一种滤波器的结构，感兴趣的同学可以继续研究。 再留一个疑问，H的形式为H(n)，也就是说观测矩阵H是随时间变化的。那么，当估计矩阵A，控制矩阵B也随时间变化，卡尔曼滤波器还可以应用吗？ |
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