从教学中的问题看教师的知识高度

裴光亚

行外人往往不知道，以为初中教师重要的是教学态度和教学技能，至于数学知识，则不以为然.是这样吗？

我们还是从简单的话题“负负得正”谈起.为了让学生理解“负负得正”，有人设计：用运算律来进行推导.在他看来，乘法运算律是学生熟知的，由此推出运算法则，学生不就通过逻辑推理有所感悟了吗？为了保持运算律而有“负负得正”不也是一个理由吗？从这个设计来看，我们不能怀疑教师的敬业精神，更不能非议教师的教学能力.问题不在这里，而恰恰出在知识的高度上.如果我们懂得一点群论或数系的简单知识，就会知道，数的运算法则是规定的，不是推导出来的.先规定运算法则，然后才可以研究运算律是否成立.其实，如果我们不管为什么，只说“负负得正”是一种规定，就数学知识而言是正确的.应该先规定运算法则，然后证明运算律成立.反过来就是错误的，违反了数学的逻辑.当然，这是就数学来说的，至于教学，那又还需别论.因为数学理论上正确的东西，教学实践上不一定可行.你说“负负得正”是一种规定，初中生怎么可以接受呢？何况怎样规定运算法则，也不是任意的，常常是为了反映客观实际的某种关系，从而解决有关的实际问题.正因为如此，我们才为“负负得正”的教学创设了很多现实情境.这里有一个原则，既要坚持以学生为本的教学设计，又不能违背数学本身的逻辑.学生的需求，数学的本质，这本来就是一对矛盾，怎样协调这对矛盾，我们必须站在知识的高度.

“负负得正”是一种规定，这是我们从高等代数中获得的知识，但高等代数中并没有这个现成的命题.不是记住一个命题就可以了，而是要具备一定的素养.相对于初中数学，这是何等的高度.正是在这样的高度，我们的教学设计，才会有清醒的头脑，不致犯知识性的错误.在初中数学中，常常引发一些争论，比如“点到角两边的距离是否存在或者唯一”，“随机事件的概率是否可能为 0”等，就在一些期刊上连篇累牍的质疑和商榷过.其实，前一问题只要看一看欧氏空间距离的定义，后一问题只要了解一下几何概型，就非常清楚了.我这里当然不是说不需要争鸣，而是想说，没有高一层次数学理论武装的中学数学问题的争论是肤浅的.

初中数学教师需要居高临下.因为初中数学和高等数学在本质上是相通的，初中数学中确实有许多问题，需要我们用高观点来进行把握.在研究人教版九年级“概率的意义”时，我们就遭遇了很多问题，不妨列举如下：

1.教材指出：“抛掷硬币时，直觉容易告诉我们，‘正面向上’、‘正面向下’这两个随机事件的可能性各占一半”.接着说：“这种猜想是否正确？不妨用试验来检验”.随后是试验.这样一来，问题出现了，大量的实验是可以验证的，如历史上布丰抛掷了4040次，皮尔逊抛掷了24000次.但课堂上如何实验？课堂上的实验能说明概率的意义吗？如何处理“大量重复试验”与“教学时间有限”之间的矛盾？

2.继续上面的问题：课堂上的实验，除了检验“猜想”外，还有什么教学价值？这样的“猜想”可以“检验”吗？

3.再看教材给概率下的定义：“一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率.”这里的“稳定”是什么意思？回到定义前的描述：“随着抛掷次数的增加，一般地，频率就呈现出一定的稳定性：在0.5的左右摆动的幅度会越来越小.”比较这句话： “随着抛掷次数的增加，在某常数左右摆动的幅度会越来越小”和关于极限的描述：“随着项数的无限增大，数列的项无限地趋近某个常数.”这两句话的区别在哪？也就是说，概率相对于频率，极限相对于数列.是一回事，还是两回事？

4.当学生把概率看成“近似值”、“极限值”时，我们如何解释？

5.同样是学生的问题：用频率来刻画概率，当我们说抛掷硬币，“正面向上”的概率是0.5时，这个0.5是怎么来的？为什么是0.5，而不是0.5附近的另一个数？也就是说，我们如何由频率的稳定性来确定那个概率？

6.“概率的意义”一节，应该讲哪些问题？

（1）问题的提出，教材只有一句话：“在同样条件下，随机事件可能发生也可能不发生，那么，它发生的可能究竟有多大？这是我们下面要讨论的问题.”可能性有大小，大小应该用一个数来刻画.如何让学生认识到这一点，产生探究的内在需求？

（2）关于用频率刻画概率的过程.如前所述，如何说清道理？

（3）最后一段：概率大的事件在一次试验中不一定发生；概率小的事件在一次试验中不一定不发生.如何让学生理解这层意思，但又不至于产生对学科的怀疑：既然如此，我们要概率干什么？

7.两个式子（1）概率满足的不等式；（2）必然事件的概率为1.它们的意义何在？

在这些问题中，有的属于教学法的问题，有的属于数学问题.即使是教学法问题，也与我们对知识的理解有关.而要真正理解这些知识，不能不涉猎到大学的概率论.是的，初中数学只讲那些最基本、最直观的东西，没有必要也不可能把知识拔高.问题是，我们如何面对学生的追问？

在教学中所遭遇的很多问题：两个圆为什么至多只有两个公共点？过圆外一点为什么只能作两条切线？究竟如何作出与两已知圆都相切的第三个圆？两个大小一样的传送轮连接着的传送带，为什么可以看成是两个半圆弧与两平行线段的组合？关于船只不能进入的海港浅滩，为什么安全位置处关于两灯塔的视角比危险角小？足球比赛，为什么在以球门为一弦的圆上比在圆外位置射门要好？这说明，学生并不满足于现成的结论，不满足于练习的对与错，而是在思考，发出理性的追问.对此，如何回应教学中一些显而易见的问题，以提高培养创造性人才的水平？因为有问题的学生才是最好的学生.对上述诸如此类的问题，我们也许可以就事论事.但一位高素质的老师，决不会止于给学生的答案，而是把学生引向更高水平的探究.其实，初中教师的本事不仅仅在于能帮助学生解答难题，而是还能站在数学的高度俯视那些简单的问题.因为前者只能证明你比学生具备更加熟练的技巧，后者才能证明你作为人师的坚实基础和广阔视野.

可见，教师的知识高度非常重要，它可能对应试教育的作用不大，但对学生的影响，潜移默化的作用是不可估量的.

初中数学教师的使命要求我们象大学数学教师一样具备数学家的天性，也象数学家一样终身学习.正是这一点，如文首所说：行外人往往不知道.也许，这才是真正的悲哀.我们曾经认为，中小学数学的核心部分是不变的.这个公理，现在已经成了假命题.由代数、几何统领初中课本的时代已经过去，代之以四个学习领域：数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践.统计与概率的出现结束了确定性数学独霸中小学课程的历史，传统领域与时俱进，有了新的内涵.应对机遇和挑战，没有理念，无以致远，没有知识的高度和厚度，更是无法前行.