===============第四节=============== 【域、域扩张、域的对称性、自同构群】 所谓『域』，就是一个对加、减、乘、除都封闭的集合。换句话说，对于域中的数字，无论你怎么用加减乘除（当然，零不能做除数）去蹂躏它们，它们依然还是在这个域里。 比如，全体有理数构成有理数域 如果只能使用加、减、乘、除，那么我们无法给出（有理数系数，以下省略）二次方程的求根公式。为什么呢？从『域』的角度看，我们就可以给出答案了：因为二次方程的解却可能不在有理数域里（比如 这样看来，『域』就如同如来佛的手掌心——如果加减乘除是你全部的招数，那你永远无法离开这个『域』。 而这个时候，『开方』就是一个格外强大的技能：它能让我们离开原来的域，进行『域扩张』。 比如，在有理数域里对 所以，要想给出一个五次方程的解，我们希望能通过『开方』不断地扩张我们的域，直到我们的域中包含该方程的解。然而伽罗瓦告诉我们，这往往是做不到的。 还记得之前我们说的多项式的根的对称性吗？我们之前考察了 我们现在来单独考察它的一个因子 如前文所说， 重点来了：如果我们把这两个根放在它们所在的域 举个例子：我们知道 也许这有些难以置信，但事实就是如此。你可以自己尝试更多的例子=w= 套用之前的比方，如果我现在造出一个机器，它有无穷多个按钮，对应了域 所以，如之前一样，这个『交换标签』的操作是域 其实，我们在中学数学里早已接触过域的自同构了。 不知大家是否还记得，我们在解二次方程时，复数解一定是成对出现的——如果其中的一个解是复数，那么另一个解也是复数，并且这两个解一定共轭。 比如， 这是为什么呢？因为全体复数构成复数域 我们把思路理一下。如果我们已经知道『同时交换一切 所以，二次多项式的复根一定是成对出现的。（实际上，我们完全不用局限于二次——任何次数的多项式的复根都是成对出现的，理由正是『交换共轭对』是复数域的自同构。） 接下来的一句话很重要！ 『自同构』就是一个域的『对称操作』。 （其实我之前讲了这么多，就是为了说出这句话。不妨停下来想一想，确定自己理解这句话之后再继续往下读。） 所以，一个域的所有自同构构成了一个群——我们称之为『自同构群』。 那么域 『同时交换一切 （其实这就相当于是在置换 为了避免大家迷失在众多的数学概念中，我们来简短地回顾一下： 我们的目的是寻找五次方程的根式解。由于五次方程的解往往不在有理数域中，所以我们只能寄希望于通过『开方』不断地扩张数域，直到数域包含五次方程的解。同时，方程的解具有对称性，并可以转化为所在的域的对称性，可以用『自同构群』来描述。 如果我们能说明『五次方程的解所在的域』具有的对称性与『可以通过开方扩张的数域』具有不同的对称性，那么就意味着『五次方程的解所在的域』不是『可以通过开方扩张的数域』，也就意味着五次方程没有求根公式。 所以，为了说明这一点，我们不仅需要研究『域』的对称性，还需要研究『域扩张』的对称性。域的对称性可以用『自同构群』来描述，而域扩张的对称性则可以用『伽罗瓦群』来描述。 有了之前这么多的铺垫，『伽罗瓦群』就不难理解了——它只是『自同构群』的『子群』罢了。 ===============第五节=============== 【子群、域扩张的对称性、伽罗瓦群】 『子群』的概念与『子集』类似，很简单。H是G的子群就意味着G包含了H中的所有对称操作。也就是说，H是G的『一部分』——当然，H也得是一个群。 举个例子，回到最开始的正方形。如果不允许翻折，那么正方形具有四种对称操作，它们构成的群记作 现在我们考虑从有理数域 我们已经知道域 我们现在规定，这个域扩张的对称操作是： 域扩张的对称操作构成的群被称为『伽罗瓦群』。按照这个定义，『伽罗瓦群』自然是『自同构群』的子群。 更一般地来说，如果我们把域F扩张成域E，那么这个域扩张的对称操作就是E的自同构群中保持F不变的对称操作，它们构成了这个扩张的『伽罗瓦群』，记作 本例中，伽罗瓦群记作 那么这个伽罗瓦群到底包含了什么对称操作呢？ 首先，『恒等操作』保持了 接着我们发现，『同时交换一切 所以，在这个例子里，『伽罗瓦群』不仅是『自同构群』的子群，而且它们完全一样！所以 （为什么我们要这么定义域扩张的对称操作呢？因为在这个例子中，要想完成有理数域 那有什么『伽罗瓦群』不是『自同构群』的例子吗？有的。 还记得我们之前讨论的多项式 当然，这个扩张可以分两步进行：先把 我们现在考虑后一个扩张，即把 为了知道这个扩张的伽罗瓦群是什么，我们需要先知道 在分析多项式 所以域 那么这四个对称操作中哪些保持了域 其实这很好理解：在域 所以，尽管 ===============第六节=============== 【伽罗瓦对应（群与域的联系）】 为了对伽罗瓦群有更加形象的认识，我们可以画一个这样的图：
我们用一个圆来表示有理数域 比如，从E到K的域扩张的对称操作就可以看成是『保持E不变（所以F也不变），转动图中K的最外面一层』。 再比如，从F到K的域扩张的对称操作就可以看成是『保持F不变，转动图中K的外面两层』。 这样一来，我们可以很自然地看出 一个小问题：从K到K的域扩张对应的伽罗瓦群是什么？再往下看之前不妨先自己想一想=w= 换句话说，这是一个假扩张，域并没有变大。于是我们就要问自己：K的对称操作中保持K不变的有哪些？ 那就只有『恒等操作』啦——那个假对称操作。 所以，这个假扩张对应的伽罗瓦群 为了接下来方便叙述，在这里提一句：如果E是F的扩域，那么我们就说F是E的『子域』。 好的，现在我们可以来看一看伽罗瓦理论的核心思想了。看下图：
左边一列是域，右边一列是群，它们有一一对应关系。箭头的起点是子群或子域，指向更大的群或域。 这个对应关系我们称之为『伽罗瓦对应』。到底是怎样对应的呢？
箭头相反（即包含关系相反）的原因也很好理解：群越大，包含的对称操作就越多，那么能够保持不变的域就越小；域越大，要让其保持不变就越『难』，那么满足要求的对称操作的集合就越小。 其实这个图我并没有画完整，因为我们还有一种扩张方法：先把
伽罗瓦理论的核心思想就是伽罗瓦对应——把域与群联系起来，让我们得以在域与群这两种语言中自由切换。伽罗瓦理论的力量无比强大，能帮我们解决很多问题，包括五次方程求根公式的存在性问题——但是先不谈这些『用处』，这个对应本身已经足够美丽。 由于作为例子，所以这个图还是比较简单的。放上一张稍微复杂一些的图：
在继续往下看之前，先对着这张图发一会儿呆吧=w= ===============第七节=============== 【对称性缺失的原因与应对措施、伽罗瓦扩张（正规扩张、可分扩张）、根式扩张对应的群的性质——满足交换律】 接下来我有一个坏消息和一个好消息。 先说坏消息：并不是所有时候伽罗瓦对应的性质都这么好。有时候域和群不是一一对应的，或者说，『从域到群』和『从群到域』这两个转换不是互逆的。 比如有的时候，域扩张的对称操作只有『恒等操作』，哪怕这并不是一个假扩张。也就是说，有时域扩张并不具有我们所期待的对称性。 套用圆形门把手的比方来说就是，这个门把手拧不动——外面一层无法旋转。 在解释坏消息之前，我先把好消息也说了吧： 门把手拧不动的时候，我们总可以加一点润滑油让它能够正常旋转——啊，我是说，当域扩张的『缺少』我们期待的对称性时，我们总可以在域里加一些东西，让它获得本应具有的对称性。 我先给一个缺少对称性的例子：如果我们在 与之前一样，为了知道这个域扩张的伽罗瓦群 别忘了，域的对称操作会保持所有的等式不变。我们现在写一个等式： 如果我们保持 （换句话说，对于同一个多项式，自同构的效果是根的置换——就像之前换纸杯一样，如果一个纸杯被移走了，原有位置必须得换上某一个纸杯，而移走的纸杯必须被移到某个纸杯之前所在的位置。） 问题来了，所有 也就是说，
也就是说，门把手转不动：
出现这种情况怎么办呢？答案也很显然：把另外两个根也加进这个域里！ 实际上，在这个域里加入另外两个根就等于加入了
像这样拥有性质非常好的伽罗瓦对应的域扩张我们称之为『伽罗瓦扩张』。 （伽罗瓦扩张是既正规又可分的域扩张。正规扩张保证了多项式的每个根都被加进了域中，于是我们就有足够多的自同构把每个根送到它所有可能去到的位置；可分扩张保证了（不可约）多项式没有重根，就不会出现『两个根在同一个位置』而使得根可以去到的位置减少的情况。） （域的特征为零时——有理数域就是这种情况——域扩张一定是可分的，所以伽罗瓦扩张等价于正规扩张。） 上述例子非常具有代表性：从 有了单位根的帮忙，『根式扩张得到的域』与『群』之间就有非常好的一一对应关系。于是我们可以放心地用后者来研究前者的对称性了！ 接下来我不加证明地给出一个结论： 『通过开n次方根进行的域扩张』和『通过加入单位根进行的域扩张』所对应的群都满足交换律——别忘了，一般的群只满足结合律，所以这两种群相当特殊。 （实际上它们都是有限循环群。这个结论其实很容易证明，但需要使用抽象代数的工具，故在此略去。） 于是，如果五次方程有求根公式，那么其方程的解所在的某个域（记作K）一定可以通过有理数域 如果K满足上述要求，那么我们就把从 套用圆形门把手的比方来说就是，我们可以把只有一层的门把手分成若干（有限）层，每一层都可以转动，并且对应的伽罗瓦群都是满足交换律的。如下图：
所以，为了解决五次方程的问题，我们还需要知道最后一件事：如何把门把手分层——如何把域扩张（在不破坏伽罗瓦对应的情况下）分为若干步。 这，是最能体现伽罗瓦非同寻常的洞察力的地方。 ===============第八节=============== 【如何把域扩张分为若干步、正规子群、商群】 为了方便说明，我仍然使用门把手的图，但采用最开始的『换标签』的比方。 我们要想把域扩张分为若干步，只能『顺其自然』。什么意思呢？就是说，在哪里分割不是我们决定的，我们只是把原本就存在的分割线画出来。如下图所示：
只有原本就是分开的，我们才能把它分开。要不然即使画了分割线，标签还是会跑出来的。如下图所示：
那问题来了，我们如何知道原本是不是分开的呢？ 换句话说，我们如何知道，对于每一种换标签的操作，虚线圆内的标签没有跑出来，外面的标签也没有跑进去呢？ 我们来思考一个更加生活化的问题： 节日到了，每位同学都准备一个礼物，学校规定了A、B、C、D四种『全校范围内交换礼物』的方式。我们不知道也不关心这四种方式具体是什么，但我们想知道甲班的礼物是否会被这四种方式换到其他班级的同学手中。在可以对全校同学发号施令的情况下，我们可以怎么做呢？ 方法如下： 我们先让全校同学按照A方式交换礼物，接着让『除甲班以外的所有同学』按照某种他们任意选择的方式交换礼物，然后再让全校同学把A方式反过来做。 如果甲班同学的礼物没有被A方式换到班级外的话，那么这样做下来，甲班同学应该拿到的是自己原先准备的礼物——因为第二步对甲班没有影响。 如果A方式把甲班中的小明同学的礼物换到了班级外，那么小明的礼物将会在第二步中再次被转手，所以第三步把A反过来做以后，小明拿到的一定不是自己的礼物。 （请仔细思考上面三段话，确认自己明白再继续往下读。） 按照这种方法，我们可以依次判断这四种方式是否会把甲班的礼物换到其他班级。问题解决！ 回到之前『换标签』的比方，如下图：
图中虚线围成的圆也代表一个域，记为O. 为了判断虚分割线是否原本就存在，我们先对外边两层同时做『换标签』的操作（这个操作在从F到K的域扩张的伽罗瓦群 如果这三个操作的复合操作保持了圆O内的标签不变（也就意味着这个复合操作在 注意，第一个操作和第二个操作 如果确实如此，那么我们就说 而按照虚分割线分开之后，我们就得到了一个新的伽罗瓦群 所有准备工作都已完毕，现在是时候给出最后一击了！ ===============第九节=============== 【正规子群链、可解群】 回顾一下之前所说的： 如果五次方程有求根公式，那么其方程的解所在的某个域（记作K）一定可以通过有理数域 现在，我们可以把这段话改为： 如果五次方程有求根公式，那么我们一定可以找到一条『正规子群链』：
其中 满足上述条件的 那么从 根据代数基本定理，我们知道五次方程有五个根。一般说来，我们可以任意交换它们——还记得『五个纸杯』的例子吗——所以从 而 （每一个置换都可以拆成若干个『两两交换』的复合，其中能被拆成偶数个『两两交换』的复合的置换就被称为『偶置换』。奇置换同理。显然偶置换与偶置换的复合仍是偶置换——因为偶数与偶数的和仍然是偶数——恒等操作是偶置换，并且偶置换的逆置换也是偶置换，所以一个置换群中的所有偶置换构成群。
所以五次方程没有『加减乘除』和『开方』的求根公式。 Q. E. D. ===============关于伽罗瓦=============== 不算构思的时间（更不谈学习这些知识的时间），这篇写作时间大概是五十个小时。我知道，可能这篇看完之后很可能也收获甚微，但我还是想把自己的一些思考与理解写出来，万一对谁有一点点帮助呢？ 愿意花这么多时间写这篇文章，也是出于我对伽罗瓦的尊敬、崇拜和感激。在我曾经无比痛苦和绝望的时候，伽罗瓦和他的理论给了我继续前行的动力。 伽罗瓦命途多舛：父亲被人害死、考巴黎理工大学两度失败、提交的论文两度石沉大海、被巴黎高师开除、两度入狱、自杀未遂，最终在二十岁时离开了人世，死于决斗——为了自己的心上人。 他在遗书中对革命党人与友人说：『我最终未能为自己的国家死去，希望爱国人士与我的朋友们不要为此责怪我……我将成为一桩风流韵事的受害者。啊！我为什么要死于这种琐碎而可怜的事呢……』 在决斗的前一晚，伽罗瓦匆匆写下了自己脑海中的数学思想，并且不断写着『我没有时间了』。 他把这些手稿夹在交给朋友Chevalier的信中，并在信的末尾嘱咐Chevalier：『请把我的手稿交给高斯和雅各比，听一听他们对这些理论的重要性（而非正确性）作何评价。我希望，未来的某一天，我这些杂乱的手稿会对世人有所帮助。』 后人为了纪念伽罗瓦，将他开创的数学理论以他的名字命名。如今，伽罗瓦理论早已成为现代数学不可分割的一部分。伽罗瓦短暂的一生，犹如漆黑夜空中一颗耀眼的流星，照亮了数学家们前进的道路，也为世界带来了一份无与伦比的美丽。 ===============其他=============== 扩展阅读及参考资料： Ian Stewart. Galois Theory Nathan Carter. Visual Group Theory Edward Frenkel. Love and Math Thomas Hungerford. Algebra Tom Leinster. Basic Category Theory Galois Talk: https://www./playlist?list=PLch_Jbr0Xa3PPwpq62EknkzPBkKW_Y4PB Introduction to Galois Theory: https://www./playlist?list=PLoESu5yQTk1htS_Cyhy3sFWrmY22CfTrT 以及Friedman教授的抽代课笔记 |
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