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相对论与牛顿的引力定律之间的冲突是如何解决的?

2017-07-14  大隆龙

相对论是关于时空和引力的基本理论,主要由阿尔伯特·爱因斯坦创立,依据研究的对象不同分为狭义相对论和广义相对论。相对论的基本假设是相对性原理,即物理定律与参照系的选择无关。

狭义相对论和广义相对的区别是,前者讨论的是匀速直线运动的参照系(惯性参照系)之间的物理定律,后者则推广到具有加速度的参照系中(非惯性系),并在等效原理的假设下,广泛应用于引力场中。相对论极大地改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念,提出了“同时的相对性”、“四维时空”、“弯曲时空”等全新的概念。它发展了牛顿力学,推动物理学发展到一个新的高度。

狭义相对性原理是相对论的两个基本假定,在目前实验的观测下,物体的运动与相对论是吻合很好的,所以目前普遍认为相对论是正确的理论。

传统上,在爱因斯坦刚刚提出相对论的初期,人们以所讨论的问题是否涉及非惯性参考系来作为狭义与广义相对论分类的标志。随着相对论理论的发展,这种分类方法越来越显出其缺点——参考系是跟观察者有关的,以这样一个相对的物理对象来划分物理理论,被认为较不能反映问题的本质。一般认为,狭义与广义相对论的区别在于所讨论的问题是否涉及引力(弯曲时空),即狭义相对论只涉及那些没有引力作用或者引力作用可以忽略的问题,而广义相对论则是讨论有引力作用时的物理学的。用相对论的语言来说,就是狭义相对论的背景时空是平直的,即四维平凡流型配以闵氏度规,其曲率张量为零,又称闵氏时空;而广义相对论的背景时空则是弯曲的,其曲率张量不为零。

狭义相对论建立在如下的两个基本公设上:

1.物理规律在所有惯性系中都具有相同的形式。

2.在所有的惯性系中,光在真空中的传播速度中具有相同的值C。

第一个叫做爱因斯坦相对性原理。它是说:如果坐标系K'相对于坐标系K作匀速运动而没有转动,则相对于这两个坐标系所做的任何物理实验,都不可能区分哪个是坐标系K,哪个是坐标系K′。

第二个原理叫光速不变原理,它是说光(在真空中)的速度c是恒定的,它不依赖于发光物体的运动速度。

从表面上看,光速不变似乎与相对性原理冲突。因为按照经典力学速度的合成法则,对于K′和K这两个做相对匀速运动的坐标系,光速应该不一样。爱因斯坦认为,要承认这两个假设没有抵触,就必须重新分析时间与空间的物理概念。

可以表述为光子在时空中的世界线总是类光的。也正是由于光子有这样的实验性质,在国际单位制中使用了“光在真空中1/299,792,458秒内所走过的距离”来定义长度单位“米”(米)。光速不变原理是宇宙时空对称性的体现。

伽利略变换

伽利略的相对性原理指出,在一切惯性系中,力学规律是相同的。经典的时空观指出,在不同的惯性系之间,时空坐标的变换遵循伽利略变换。

所谓时空观,即是有关时间和空间的物理性质的认识。伽利略变换是力学相对论原理的数学描述。它集中反映了经典力学的绝对时空观。

1.时间间隔与惯性系的选择无关。若有两事件先后发生,在两个不同的惯性系中的观测者测得的时间间隔相同。

?

牛顿绝对时空观公式及假设图

2.空间间隔与惯性系的选择无关;空间任意两点之间的距离与惯性系的选择无关。

人们可以看出,在经典力学中,物体的坐标和速度是相对的,同一地点也是相对的。但时间、长度和质量这三个物理量是绝对的,同时性也是绝对的。这就是经典力学的绝对时空观。

洛伦兹变换

经典力学中的速度合成法则实际依赖于如下两个假设:

1.两个事件发生的时间间隔与测量时间所用的钟的运动状态没有关系。

2.两点的空间距离与测量距离所用的尺的运动状态无关。

爱因斯坦发现,如果承认光速不变原理与相对性原理是相容的,那么这两条假设都必须摒弃。这时,对一个钟是同时发生的事件,对另一个钟不一定是同时的,同时性有了相对性。在两个有相对运动的坐标系中,测量两个特定点之间的距离得到的数值不再相等,距离也有了相对性。

如果设K坐标系中一个事件可以用三个空间坐标x、y、z和一个时间坐标t来确定,而K′坐标系中同一个事件由x′、y′、z′和t′来确定,则爱因斯坦发现,x′、y′、z′和t′可以通过一组方程由x、y、z和t求出来。两个坐标系的相对运动速度和光速c是方程的唯一参数。这个方程最早是由洛仑兹得到的,所以称为洛仑兹变换。

迈克尔逊-莫雷实验

1887年,阿尔贝特·迈克尔逊(后来成为美国第一个物理诺贝尔奖获得者)和爱德华·莫雷在克里夫兰的卡思应用科学学校进行了非常仔细的实验。目的是测量地球在以太中的速度(即以太风的速度)。

如果以太存在,且光速在以太中的传播服从伽利略速度叠加原理:

假设以太相对于太阳静止,仪器在实验坐标系中相对于以太以公转轨道速度 ? 向右运动。 光源发光经分光镜分光成两束光,光束1经反光镜M1反射再经分光镜投射到观测屏。光束2经反光镜M2反射再经分光镜投射到观测屏,与光束1形成干涉。光在以太中传播速度为 ? ,地球相对以太的速度为 ? 。光束1到达M1和从M1返回的传播速度为不同的,分别为 ? 和 ? ,完成往返路程所需时间为: ? 。光束2完成来回路程的时间为 ? ,光束2和光束1到达观测屏的光程差为 ? ? ?

?

然后让实验仪器整体旋转90度,则光束1和光束2到达观测屏的时间互换,使得已经形成的干涉条纹产生移动。改变的量为? 。移动的条纹数为 ? 。

实验中用钠光源, ? ;

地球的公转轨道运动速率为: ? ;干涉仪光臂(分光镜到反光镜) ? ,

应该移动的条纹为: ? 。迈克尔逊和莫雷将干涉仪装在十分平稳的大理石上,并让大理石漂浮在水银槽上,可以平稳地转动。并当整个仪器缓慢转动时连续读数,这时该仪器的精确度为0.01% ,即能测到1/100条条纹移动,用该仪器测条纹移动应该是很容易的。迈克尔逊和莫雷设想:如果让仪器转动90°,光通过M1、M2的时间差应改变,干涉条纹要发生移动,从实验中测出条纹移动的距离,就可以求出地球相对以太的运动速度,从而证实以太的存在。但实验结果是:未发现任何条纹移动。在此之后的许多年,迈克尔逊-莫雷实验又被重复了许多次,所得都是零结果。

时空观

同时的相对性:据狭义相对性原理,惯性系是完全等价的,因此,在同一个惯性系中,存在统一的时间,称为同时性,而相对论证明,在不同的惯性系中,却没有统一的同时性,也就是两个事件(时空点)在一个惯性系内同时,在另一个惯性系内就可能不同时,这就是同时的相对性,在惯性系中,同一物理过程的时间进程是完全相同的,如果用同一物理过程来度量时间,就可在整个惯性系中得到统一的时间。在广义相对论中可以知道,非惯性系中,时空是不均匀的,也就是说,在同一非惯性系中,没有统一的时间,因此不能建立统一的同时性。

长度的相对性:如图8.5所示,有两个参考系S和S'。有一根棒A'B'固定在x'轴上,在S'系中测得它的长度为l'。为了求出它在S系中的长度l,人们假想在S系中某一时刻t1,B'端经过x1,在其后t1+Δt时刻A'经过x1。由于棒的运动速度为u。在t1+Δt这一时刻B'端的位置一定在x2=x1+uΔt处。根据上面所说长度测量的规定,在S系中棒长就应该是l=x2-x1=uΔt 。

?

再看Δt,它是B'端和A'端相继通过x1点这两个事件之间的时间间隔。由于x1是S系中一个固定地点,所以Δt是这两个事件之间的原时。从S'系看来,棒是静止的,由于S系向左运动,x1这一点相继经过B'端和A'端(见图8.6)。由于棒长为l',所以x1经过B'和A'这两个事件之间的时间间隔Δt',在S'系中测量

?

再看Δt',它是不同地点先后发生的两个事件的时间间隔,它是两地时,根据原时和两地时的关系,有

?

将此式代入前式即可得:

?

空间的量度与观察这一量度的参照系有关。所以,在飞船上的尺和地球上的尺是不会一样的。通过火车相对于月台的长度问题的讨论,人们得知:沿运动方向固定在高速运动飞船上的尺,如果由地球上的人来观测,就比飞船上的人观测的长度短。至于长度收缩多少,是与飞船飞行的速度,也就是两个参照系之间的相对速度有关。

相反,固定在地球上的尺的长度,若由飞船上观察者来观测的话,则沿运动方向的长度不是伸长,而是缩短。

由此,得出结论:当一个物体对于某参照系是静止的时候,就这个参照系来看,物体长度最大。沿垂直于运动方向时,长度则不发生变化。

时间间隔的相对性:根据爱因斯坦1905年提出的狭义相对论,处于快速运动状态的表,与构造完全相同、指针在动但表壳本身 却处于静止状态的表相比,快动表的指针转动得慢,也就是时间流逝得慢,专业说法是“时间膨胀”效应。

狭义相对论力学

(注:“γ”为相对论因子, ? , ? ,u为惯性系速度。)

1.基本原理:

(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。

(2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。

(此处先给出公式再给出证明)

2.洛仑兹坐标变换:

?

?

?

?

3.速度变换:

?

?

?

4.尺缩效应: ? 或 ?

5.钟慢效应: ? 或 ?

6.光的多普勒效应: ?

(光源与探测器在一条直线上运动。)

7.动量表达式: ? ,即 ?

8.相对论力学基本方程: ?

9.质能方程: ?

10.能量动量关系: ?

(注:在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的。)

三维证明

1.由实验总结出的公理,无法证明。

2.洛仑兹变换:

设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止,(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处,x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。

可令

? (1).

又因在惯性系内的各点位置是等价的,因此k是与u有关的常数(广义相对论中,由于时空弯曲,各点不再等价,因此k不再是常数。)同理,B系中的原点处有 ? ,由相对性原理知,两个惯性系等价,除速度反向外,两式应取相同的形式,即k=K。

故有

? (2).

对于y,z,Y,Z皆与速度无关,可得

? (3).

? (4).

将(2)代入(1)可得: ? ,即

? (5).

(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时,由重合点发出一光信号,则对两系分别有 ? , ? 。

代入(1)(2)式得: ? , ? 。两式相乘消去t和T得:

? .

将γ反代入(2)(5)式得坐标变换:

?

?

?

?

3.速度变换:

?

同理可得V(y),V(z)的表达式。

4.尺缩效应:

B系中有一与x轴平行长l的细杆,则由 ? 得: ? ,又△t=0(要同时测量两端的坐标),则 ? ,即: ? , ? 。

5.钟慢效应:

由坐标变换的逆变换可知, ? ,故 ? ,又 ? ,(要在同地测量),故 ? 。

(注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时,是不随坐标变换而变的客观量。)

6.光的多普勒效应:(注:声音的多普勒效应是: ? )

B系原点处一光源发出光信号,A系原点有一探测器,两系中分别有两个钟,当两系原点重合时,校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N,B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知,A△系中的钟测得的时间为

? (1).

探测器开始接收时刻为 ? ,最终时刻为 ? ,则

? (2).

相对运动不影响光信号的波数,故光源发出的波数与探测器接收的波数相同,即

? (3).

由以上三式可得:

? .

7.动量表达式:(注: ? ,此时, ? 因为对于动力学质点可选自身为参考系, ? )

牛顿第二定律在伽利略变换下,保持形式不变,即无论在那个惯性系内,牛顿第二定律都成立,但在洛伦兹变换下,原本简洁的形式变得乱七八糟,因此有必要对牛顿定律进行修正,要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

牛顿力学中, ? ,r在坐标变换下形式不变,(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时 ? 莫属)就可以修正速度的概念了。即令 ? 为相对论速度。牛顿动量为 ? ,将v替换为V,可修正动量,即 ? 。定义 ? (相对论质量)则 ? .这就是相对论力学的基本量:相对论动量。(注:人们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)

8.相对论力学基本方程::

由相对论动量表达式可知: ? ,这是力的定义式,虽与牛顿第二定律的形式完全一样,但内涵不一样。(相对论中质量是变量)

9.质能方程:

?

?

?

?

即 ?

10.能量动量关系:

? , ?

? ,

? ,

四维证明

1.公理,无法证明。

2.坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔,

dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2 (1).

则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS2>0称类空间隔,dS2<0称类时间隔,dS2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变,因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量,dS2dS2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下,可得出一个重要的结论:dS是坐标变换下的不变量。

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