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统计与概率一直是高考数学热门考点之一，纵观近几年高考数学试卷，我们不难发现，概率类问题经常出现在高考数学试卷当中。题型有客观题、解答题，题目算不上很难，只要大家认真掌握好基础知识，一般都能拿到相应的分数。 在高考数学里，概率又包含好几块内容，如古典概率、几何概型等等，今天我们就一起来简单的讲讲几何概型类问题。 几何概型作为高中数学统计与概率的一部分内容,是概率考查中的重点，在高考的填空题中考查的频率也较高。特别是在一些综合问题中，常常与平面解析几何、函数、向量等相结合的几何概型是高考的热点内容,此类题型主要是考查大家的综合计算方法和能力。 什么是几何概型？ 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 根据几何概型的定义，我们可以归结出以下这些特点： 1、无限性 即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2、等可能性 即每个基本事件发生的可能性均相等。 3、试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量。 4、古典概型和几何概型的区别和联系： （1）联系： 每个基本事件发生的都是等可能的； （2）区别： ①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的。 ②两种概型的概率计算公式的含义不同。 典型例题1： 设AB＝6，在线段AB上任取两点(端点A、B除外)，将线段AB分成了三条线段． (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率； (2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率． 请点击此处输入图片描述 几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关。 几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果。 求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．确定点的边界位置是解题的关键。 求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率。这类问题常与线性规划[(理)定积分]知识联系在一起。 典型例题2： 已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)． (1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率； (2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b＜0的概率． 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。 与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下： 对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域。 |
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