小学数学教师如何处理学生计算错误的研究

作者简介：

孙兴华（1971-），女，吉林长春人，东北师范大学教育学部讲师，博士，主要从事课程与教学论研究；马云鹏，东北师范大学教育学部（吉林 长春 130024）.

原文出处：

数学教育学报

内容提要：

在计算教学中，学生会出现各种错误，这是每一个小学数学教师所要面对的，基于此，如何处理学生的计算错误就显得尤为重要.研究关注小学数学职初教师与专家教师在处理学生计算错误过程中的表征异同，包括对学生计算错误的归因，纠正学生计算错误的教学策略.最后比较分析两类教师关于理解学生错误的知识.

期刊代号：G392

分类名称：小学数学教与学

复印期号：2017 年 01 期

关 键 词：

计算错误  错误归因  纠正策略 

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      在数学学习过程中，往往伴随错误的产生，过去教师常认为学生出错是因不小心或误解题意.但认知心理学的兴起，给研究者提供了新的视角，数学心理学的研究指出，学生在学习时会主动建构所学习的材料，也会在建构的过程中产生错误.很多教师认为学生犯错误是日常教学中一件很平常的事情，殊不知越为人们习以为常的事情却有独特的研究价值[1].自20世纪80年代以来，有关数学教育中学生错误研究的国际研讨会已召开多届，至今学生错误的研究依然是研究的热点.错误在数学中和正确的答案一样重要，有时候要有过之而无不及.错误帮助了数学的发展；错误帮助人们了解数学的来龙去脉；错误可作为诊断工具，让人们能了解学生心理可能的想法，其错误并非漫无目的发生，而是有其理由[2].学者研究也指出，对学生学习的错误性质及类型分析，有助于教师进行有效教学策略的设计，因而关于错误分析的研究是一个永恒的主题.

      在计算教学中，学生会出现各种错误，这是每一个小学数学教师所要面对的，已有研究发现，教师十分重视学生的分数，重视学生的学习结果，从而导致教师对学生错误的认知标准是看结果，而不是看过程[3].基于此，探讨小学数学教师如何处理学生的计算错误就显得尤为重要.研究关注小学数学职初教师与专家教师在处理学生计算错误过程中的表征异同，包括对学生计算错误的归因，纠正学生计算错误的教学策略.基于小学数学计算教学的实践，收集两类教师对特定内容学生计算错误理解的资料，进行质的分析及讨论，比较分析两类教师关于理解学生错误的知识，为小学数学教师学科教学知识的发展提供思考的视角.

      一、文献探讨

      对学生错误的分析是教师重要的专业能力，这种能力对于教学起着很重要的作用.这是因为有效的数学教学要求教师了解学生知道什么以及需要学什么，然后促使并帮助他们学好，教师必须知道学生通常在理解上有困难的数学概念，并掌握如何帮助学生克服常见错误的方法[4].Even & Tirosh（1995）的研究指出，教师不仅应该有关于学生某种错误存在的知识，更应该有关于这些错误为什么存在的知识[5].也就是教师不仅知道“是什么”和“如何做”，而且还要理解学生“为什么”会这样做.这说明，教师知识不仅包括对学习内容的本质理解，还包括对学生多种思维方式的理解.

      Ball的研究团队发现教学需要教师拥有大量的知识，但是这些知识又是从事其他职业的人员所不需要的，只有教师才需要，其中一项就是分析学生的数学错误的知识，她在研究中给出了一个计算的例子[6]，这个例子是关于整数退位减法的内容，是学生学习中一个非常普遍的错误：307-168=261，所有小学数学教师都能立刻指出学生算错了，这种判断并不需要专门的知识就完全可以做到，是其他任何人只要会计算就能知道261是错误答案.但是，从教学的角度来看，分析这个错误要比判断一个错误的答案复杂得多.好的教学要求教师能在看到学生错误的一瞬间，就能分析出学生错误的原因，并能用适当的策略加以纠正.

      马立平以多位数乘法123×645为任务情境，比较分析了中美教师处理学生错误的异同[7].研究发现两国教师都认为，学生在进行多位数乘法时将中间步骤的乘积错误排列，是数学学习中的一个问题，且这不是粗心引起的.教师对于该问题的认识，与他们关于该内容的数学学科知识相一致.大部分美国教师关于该内容的知识理解是过程性的.相反，大部分中国教师表现出了概念性的理解.

      综上所述发现，数学教师的工作具有一定的特质，需要掌握其他职业所不需要的数学推理的知识.尽管数学家也常常分析错误，但他们大多是因为自己的研究出现了问题.所以，分析学生的数学错误和数学家所做的既有联系又有区别.并且，因为这样的错误常常发生在课堂，要求教师分析学生的错误必须迅速及时，而对数学家却没有这样的要求.另外，上述几位学者在研究中都运用了教师专业知识的研究工具——假想数学任务情境，为研究在方法上提供了借鉴.

      二、研究设计

      （一）研究对象

      研究的样本包括专家教师与职初教师，两类教师各选取60名，样本的选择标准如下：（1）专家教师选取特级教师、省级学科带头人、省级学科骨干教师.（2）职初教师选取教龄4年以下（含4年）的教师.

      （二）研究工具

      研究工具是为教师出示数学任务情境，数学任务情境是评价教师知识常见的方法之一，用于评价教师知识的数学任务情境可以是书面的问题，也可以是口头访谈的一部分.书面测试和访谈相结合的方法，可以帮助研究者深入了解教师知识的程度.

      任务情境是两位数乘两位数的笔算，是整数乘法的核心内容，从计算难度上来说，学生已学习两位数乘一位数，在写积时如果有进位，可以先在旁边作寄存0的标记，而计算两位数乘两位数，求第二部分的乘积时由于没处寄存0的标记，从而加大了学生的思维难度，另外第二部分的乘积如何记录到准确位置也是一个难点.两位数乘两位数的笔算是学生学习乘法的一个特殊阶段，是一个质变的过程，因为，再往后无论乘数是三、四位数的乘法，都只是一个量变、类推的过程.乘法的计算策略跟加减法比起来略显复杂，这是因为对乘法而言，计算时要掌握将数字分成好几个部分的弹性做法.这种分配性在乘法计算中是一个非常重要的概念，例如25×6，有的学生会把25分成20和5，将每个部分都乘6，再加起来得到答案，学生在学习乘法时需要发展这样的概念，才能把整数乘法做好.数学任务情境如下：

      

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原文参考文献：

• [1]郜舒竹，薛涟霞.学生错误研究之文献综述[J].数学教育学报，2009，18(2)：75-78.
• [2]Schwarzenberger.错误的重要性——英国数学学会会长致词[J].数学圈，1984，(21)：73-80.
• [3]薛涟霞，郜舒竹.小学教师对待学生数学错误的态度现状[J].数学教育学报，2009，18(5)：57-60.
• [4]全美数学教师理事会.美国学校数学教育的原则和标准[M].蔡金法，译.北京：人民教育出版社，2004.
• [5]Even
• ,Tirosh D.Subject-Matter Knowledge and Knowledge about Students as Sources of Teacher Presentations of the Subject Matter[J].Educational Studies in Mathematics,1995,29(1):1-20.
• [6]Ball D L,Thames M H,Phelps G.Content Knowledge for Teaching:What Makes It Special[J].Journal of Teacher Education,2008,59(5):389-407.
• [7]马立平.小学数学的掌握和教学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.
• [8]张景媛.数学文字题错误概念分析及学生建构数学概念的研究[J].教育心理学报，1994，(27)：175-200.
• [9]John A.Van De Walle.中小学数学科教材教法[M].张英杰，周菊美，译.台北：五南图书出版股份有限公司，2005.
• [10]Hart K,Sinkinson A.
• orging the Link Between Practical and
• ormal Mathematics[A]//Proceedings of the 11th Annual Conference of the International Group for Psychology of Mathematics Education[C].Montreal,Quebec,Canada:University of Montreal,1987.
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• [12]童莉.数学教师专业发展的新视角[J].数学教育学报，2010，19(4)：23-26.
• [13]Hiebert J,Thomas P,Carpenter,et al.Making Sense:Teaching and Learning Mathematic with Understanding[M].Portrsmouth,NH:Heinemann,Preface,1997.
• [14]黄兴丰，汤炳兴等.经验教师数学课堂教学策略的个案研究[J].数学教育学报，2012，21(2)：43-47.