如何突破中考数学热点：几何动点类题型
原创
吴国平数学教育
2017-07-20 07:00
动点问题一直是中考数学试题热门考点，在很多地方中考试卷里，动点问题一直是必考题型。在很多动点问题当中，还会考查到很多数学思想，如数形结合、分类讨论思想、函数与方程等等都会考查到. 同时在中考数学试题当中，还有一种题型也是中考数学试卷非常青睐的题型，几乎每年的中考数学都会考查到，那就是几何类题型。 说到几何类题型，很多考生都会紧张一下，不仅仅是因为几何类问题包含众多的知识点，更重要的是解决几何类题型需要用到添加辅助线等等复杂的方法。从出题的角度来讲，几何类题型不仅要求考生具有一定层次、深度的推理过程，更加考查考生的逻辑思维能力、基本图形分析能力和数学语言的表达能力等等。 看到这里，有些人可能有点懵，怎么一会讲动点，一会讲几何类题型，看似两个无关的知识内容。实际上，在中考数学当中，很多压轴题型都喜欢把动点和几何放在一起，形成一类难度较高的题型：几何动点问题。 几何动点类题型主要是以几何知识和具体的几何图形为背景，在几何图形中渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等等把图形的有关性质和图形之间的数量关系和位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中。 我们先一起来看一个典型例题1： 已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM． （1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN； （2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由） ②是否存在满足条件的点P，使得PC=1/2？请说明理由． 题干分析： （1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出PM/PC=AM/BC=PA/PB，由△BAP∽△BNA，推出PA/PB=AN/BC，得到AN/AB=AM/BC，由此即可证明． （2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）． ②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC=1/2，推出矛盾即可． 解题反思： 本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题。 动点综合问题一直以来都是中考数学一个热门考点，而其中几何动点问题更是热点中的热点。 几何动点类题型之所以能成为中考数学压轴题的常考题型，除了题型复杂、知识点多外，更主要是能很好考查一个人运用数学思想方法的能力，如常用的数学思想方法有方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想、分类讨论法、数形结合法等等。 几何动点问题主要是以几何知识为载体，突出了对几何基本图形掌握情况的考查、数学逻辑思维能力和数学表达能力的考查。题型上变化多端，如常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角相结合的综合性试题。 典型例题2： 如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点分析： 函数综合题． 题干分析： （1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长； （2）证明△ACD∽△AOB，则OC=CD，然后根据△ACD∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式； （3）M是过A且垂直于AB的直线于BC的交点，首先求得M的坐标，然后分成四边形ABPM是矩形和APBM是矩形两种情况进行讨论。 解题反思： 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定和性质，以及相似三角形的判定与性质，正确求得M的坐标是本题的关键。 要想成功解决几何动点类问题，需要我们对运动变化过程中伴随的数量关系、图形的位置关系等进行探究，对大家分析问题的能力，对图形的想象能力、动态思维能力等等都有一定的要求。 几何动点题型很多时候会在梯形、矩形、三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。因此，几何动点问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。 |
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