高中数学函数知识点总结
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
CBAxyyxCxyyBxyxA、、，，，如：集合lg|),(lg|lg|
中元素各表示什么？
A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹
2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：集合，AxxxBxax||22301
若，则实数的值构成的集合为BAa
（答：，，）101
3
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到
a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3.注意下列性质：
（）集合，，,,，的所有子集的个数是；1212aaann
要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元
素a2,a3,,,an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择，即集合A有2n个子集。
当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在和全部不在的情况，故真子集个
数为21n，非空真子集个数为22n
；）若（BBAABABA2
（3）德摩根定律：
CCCCCCUUUUUUABABABAB，
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xax
xaMMMa
5035
2
的取值范围。
（∵，∴·
∵，∴·
，，）
33530
55550
153925
2
2
Maa
Maa
a
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)
在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也
应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
()()().可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”
若为真，当且仅当、均为真pqpq
若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq
若为真，当且仅当为假pp
命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
xxA|{满足条件}p，xxB|{满足条件}q，
若；则p是q的充分非必要条件BA_____；
若；则p是q的必要非充分条件BA_____；
若；则p是q的充要条件BA_____；
若；则p是q的既非充分又非必要条件___________；
7.对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，
哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有
nm个。
如：若}4,3,2,1{A，},,{cbaB；问：A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到
B的函数有个，若}3,2,1{A，则A到B的一一映射有个。
函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
例：函数的定义域是yxx
x
4
32lg
（答：，，，）022334
函数定义域求法：
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
正切函数xytankkxRx,
2,且
余切函数xycotkkxRx,,且
反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，
值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是R，
值域是(0,π).
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他
们的交集，就得到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域？
的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf
义域是_____________。（答：，）aa
复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解
出x的范围，即为)(xgfy的定义域。
例若函数)(xfy的定义域为2,
2
1，则)(log
2xf的定义域为。
分析：由函数)(xfy的定义域为2,
2
1可知：2
2
1x；所以)(log
2xfy中有2log2
1
2x。
解：依题意知：2log212x
解之，得42x
∴)(log2xf的定义域为42|xx
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例求函数y=x1的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方
法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
.
1
12
..
2
2
2
2
2
2
22
bay型：直接用不等式性质
k+x
bxb.y型,先化简，再用均值不等式
xmxn
x1例：y
1+xx+
x
xmxncy型通常用判别式
xmxn
xmxnd.y型
xn
法一：用判别式
法二：用换元法，把分母替换掉
xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211
x1x1x1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=6543xx值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，
最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数y=
1
1
x
x
e
e，2sin1
1siny，
2sin1
1cosy的值域。
2
2
2
110
11
2sin11|sin|||1,
1sin2
2sin12sin1(1cos)
1cos
2sincos1
14sin()1,sin()
4
1sin()11
4
即
又由知
解不等式，求出，就是要求的答案
x
x
x
eyye
ye
yy
y
yy
yy
yyxyx
y
yx
y
y
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=25xlog31x（2≤x≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+1x的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，
2
,(2),2
(
,20,
(1)的取值范围
(2)y-2的取值范围
解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.
d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2即也是直线dd
y
x
x
ykykx
x
Rd
xbyxbR
例求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例求函数y=1362xx+542xx的值域
解：原函数可变形为：y=)20()3(22x+)10()2(22x
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin=∣AB∣=)12()23(22=43，
故所求函数的值域为[43，+∞）。
注：求两距离之和时，要将函数
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥3abc3（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解
析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方
等技巧。
例：
3
3
()13
()3
2x(3-2x)(0
xx+3-2x=xx(3-2x)
(应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
3
3
2(0)
111133
33
2
22
x
=xx
(应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）
xx
xxxx
abc
例求函数y=
3
2
x
x的值域
2
3
20
12111220
222
20
1
2
时，
时，=0
0
xy
x
x
xxy
yxx
xy
y
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯
我当年的错误，与到手的满分失之交臂
如：，求fxexfxx1().
令，则txt10
∴xt21
∴ftett()2121
∴fxexxx()21210
13.反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
如：求函数的反函数fxxx
xx
()
10
02
（答：）fxxx
xx
111
0
()
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看
这个例题：
(2004.全国理)函数)1(11xxy的反函数是（B）
A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)
C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案
还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的
思路：
原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则
反函数定义域为x>=1,答案为B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写书）。思路能不能明白呢？
14.反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf1()ba
ffafbaffbfab111()()()()，
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04.上海春季高考）已知函数)24(log)(3
xxf，则方程4)(
1xf的解x__________.
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求12
12
()()fxfx
xx的正负号或者
1
2
()
()
fx
fx与1的关系
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特
例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调
性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与
f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与1()fx在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变
化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u
∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减
的。（同增异减）
⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
如：求的单调区间yxxlog1
2
22
（设，由则uxxux22002
且，，如图：log1
2
211uux
u
O12x
当，时，，又，∴xuuy(]log011
2
当，时，，又，∴xuuy[)log121
2
∴,,）
16.如何利用导数判断函数的单调性？
在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxfx''()()0
零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx''()0
如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxxaxa013()
值是（）
A.0
（令fxxaxaxa''()33
330
2
则或xaxa33
f(g
)
g(x
)
f[g(x
)]
f(x)+g(
x)
f(x)g(
x)都是
正数
增增增增增
增减减//
减增减//
减减增减减
由已知在，上为增函数，则，即fxaa()[)1313
∴a的最大值为3）
17.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()
若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()()
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与
奇函数的乘积是奇函数。
（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0
如：若·为奇函数，则实数fxaaa
x
x()
22
21
（∵为奇函数，，又，∴fxxRRf()()000
即·，∴）aaa22
2101
0
0
又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，fxxfx
x
x()()()()1101
2
41
求在，上的解析式。fx()11
（令，，则，，xxfx
x
x1001
2
41()
又为奇函数，∴fxfx
x
x
x
x()()
2
41
2
14
又，∴
，
，
）ffx
x
x
x
x
x
x
x
()()
()
00
2
41
10
0
2
4101
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的
定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶
性.
这种方法可以做如下变形
f(x)+f(-x)=0奇函数
f(x)-f(-x)=0偶函数
f(x)1偶函数
f(-x)
f(x)1奇函数
f(-x)
三、复合函数奇偶性
18.你熟悉周期函数的定
义吗？
（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTfxTfxfx0()()
函数，T是一个周期。）
如：若，则fxafx()
（答：是周期函数，为的一个周期）fxTafx()()2
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这
个函数周期2t.推导：
()()0()(2)
()(2)0
fxfxtfxfxt
fxtfxt，
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数
f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者
说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如：
()
()()()()
()(2)(2)(2)
()(2)
2,222,()(22)
()(22)
,()2||(,,
,
fxxaxb
faxfaxfbxfbx
fxfaxfaxfbx
fxfbx
taxbxtbaftftba
fxfxba
fxbaab
又如：若图象有两条对称轴，
即，
令则
即
所以函数以为周期因不知道的大小关系
为保守起见我加了一个绝对值
f(g)g(x)f[g(x
)]
f(x)+g(
x)
f(x)g(
x)
奇奇奇奇偶
奇偶偶非奇非
偶
奇
偶奇偶非奇非
偶
奇
偶偶偶偶偶
19.你掌握常用的图象变换了吗？
fxfxy()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(-x,y)
fxfxx()()与的图象关于轴对称联想点（x,y）,(x,-y)
fxfx()()与的图象关于原点对称联想点（x,y）,(-x,-y)
fxfxyx()()与的图象关于直线对称1联想点（x,y）,(y,x)
fxfaxxa()()与的图象关于直线对称2联想点（x,y）,(2a-x,y)
fxfaxa()()()与的图象关于点，对称20联想点（x,y）,(2a-x,0)
将图象左移个单位
右移个单位
yfxaa
aa
yfxa
yfxa()
()
()
()
()
0
0
上移个单位
下移个单位
bb
bb
yfxab
yfxab
()
()
()
()
0
0
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实
根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的
坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：
()|()|x
()(||)y
fxfx
fxfx
把轴下方的图像翻到上面
把轴右方的图像翻到上面
如：fxx()log21
作出及的图象yxyxloglog2211
y
y=log2x
O1x
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0)y(k>0)
y=b
O’(a,b)
Ox
x=a
（）一次函数：10ykxbk(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
（）反比例函数：推广为是中心，200yk
xkyb
k
xakOab''()
的双曲线。
（）二次函数图象为抛物线302442
22
yaxbxcaaxbaacba
顶点坐标为，，对称轴b
a
acb
ax
b
a2
4
42
2
开口方向：，向上，函数ayacb
a0
4
4
2
min
ayacb
a0
4
4
2
，向下，max
121212
2
,,||||
bx
a
bcxxxxxx
aaa
根的关系：
2
2
1212
1212
()()
()()(mn
()()()(,2
()()()(,)(,)
fxaxbxc
fxaxmn
fxaxxxxxx
fxaxxxxhxhxh
二次函数的几种表达形式：
一般式
顶点式，（，）为顶点
是方程的个根）
函数经过点（
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴
的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()
②求闭区间［m，n］上的最值。
2
max(),min()2
max(),min()2
22
4min,maxmax((),())
4
m,n
0
bnffmffn
a
bmffnffm
a
bnm
a
cbafffmfn
a
a
区间在对称轴左边（）
区间在对称轴右边（）
区间在对称轴边（）
也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大
(只讨论的情况）
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程的两根都大于axbxckbak
fk
20
0
2
0()
y
(a>0)
Okx1x2x
一根大于，一根小于kkfk()0
0
mn22
()0
()0
mn()()0
bmn
a
fm
fn
fmfn
在区间（，）内有根
在区间（，）内有1根
（）指数函数：，401yaaax
（）对数函数，501yxaaalog
由图象记性质！（注意底数的限定！）
y
Ox
k
k
y
y=ax(a>1)
(01)
1
O1x
(0
（）“对勾函数”60yxkxk
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成
立的条件）
20.你在基本运算上常出现错误吗？
指数运算：，aaa
aa
p
p
01010(())
aaaa
a
a
m
nmn
m
n
mn((0
10))，
log()loglog00aaaMNMNMN对数运算：，
logloglogloglogaaaanaM
NMNMnM，
1
对数恒等式：axaxlog
loglogloglog
log
1log
log
m
nc
aaa
c
a
x
bnbbb
am
xa
对数换底公式：
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：（），满足，证明为奇函数。1xRfxfxyfxfyfx()()()()()
（先令再令，,,）xyfyx000()
（），满足，证明是偶函数。2xRfxfxyfxfyfx()()()()()
（先令·xytfttftt()()()
∴ftftftft()()()()
∴,,）ftft()()
（）证明单调性：,,32212fxfxxx()
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2.幂函数型的抽象函数
f（x）＝xa----------------f（xy）＝f（x）f（y）；f（
y
x）＝
)(
)(
yf
xf
3.指数函数型的抽象函数
f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
)(
)(
yf
xf
4.对数函数型的抽象函数
f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（
y
x）＝f（x）－f（y）
5.三角函数型的抽象函数
f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝
)()(1
)()(
yfxf
yfxf
f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝
)()(
1)()(
yfxf
yfxf
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，
f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f
（x1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，
f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝
9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1；
（2）利用f（x1）＝f（
2
1
x
x·x
2）＝f（
2
1
x
x）f（x
2）；
（3）0≤a≤2.
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；
对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
(2)对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：（1）令x=y＝0；（2）令y＝x≠0.
例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、
b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）
＝1，求：
（1）f（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝
g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.
分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（ab）＝f[g（m）g（n）],.
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝)()(1)()(
12
21
xfxf
xfxf；
②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
试问：
（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.
|
|
