矩阵线性变换的理解

线性空间：
可以进行线性运算（加法和乘法）的一个大容器。

基：
看做线性空间里面的一个坐标系就可以；比如：二维平面空间的基就是二维坐标系。

点与向量之间的关系：
点的坐标就是一个向量，该向量代表的是从原点到该点的方向和大小。

线性变换：就是从一个线性空间 V 的某一个点跃迁到另一个线性空间 V 的另一个点的运动。蕴含的深层含义是一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。
注意：我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。

矩阵和线性变换之间的关系：
矩阵本身描述了一个坐标系，矩阵与矩阵的乘法描述了一个运动。换句话说：如果矩阵仅仅自己出现，那么他描述了一个坐标系，如果他和另一个矩阵或向量同时出现，而且做乘法运算，那么它表示运动（线性变换）。

用数学的表达式，我们写成：

的意思是说矩阵 M 描述了向量 d1到d2的变换（运动）。而矩阵对一个向量的作用无非是把它伸缩或者旋转。

根据图片3，做一些小注释：
1、通过线性变换，矩阵A1左乘向量d1后...

线性空间：
可以进行线性运算（加法和乘法）的一个大容器。

基：
看做线性空间里面的一个坐标系就可以；比如：二维平面空间的基就是二维坐标系。

点与向量之间的关系：
点的坐标就是一个向量，该向量代表的是从原点到该点的方向和大小。

线性变换：就是从一个线性空间 V 的某一个点跃迁到另一个线性空间 V 的另一个点的运动。蕴含的深层含义是一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。
注意：我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。

矩阵和线性变换之间的关系：
矩阵本身描述了一个坐标系，矩阵与矩阵的乘法描述了一个运动。换句话说：如果矩阵仅仅自己出现，那么他描述了一个坐标系，如果他和另一个矩阵或向量同时出现，而且做乘法运算，那么它表示运动（线性变换）。

用数学的表达式，我们写成：

的意思是说矩阵 M 描述了向量 d1到d2的变换（运动）。而矩阵对一个向量的作用无非是把它伸缩或者旋转。

根据图片3，做一些小注释：
1、通过线性变换，矩阵A1左乘向量d1后，d1变成了d2，显然矩阵把向量d1相对于原来的坐标系进行了伸缩和旋转得到了新的向量d2，注意d2的坐标值也是相对于原来坐标系的。
2、矩阵A1的本质是以列向量为基的新坐标系，A1是非奇异矩阵，列向量是线性无关的。但是只能保证列向量不共线，不能保证列向量之间两两垂直，即未必是正交的。
3、原来的向量d1的每一个值只是相应的新坐标每一个维上的权重，但是不知道是不是单位长度的。而且A1的列向量只是描述了方向，并没有描述长度。结论就是，新的向量d2在新的坐标系下的坐标值不是d1，是未知的。

参考：神奇的矩阵。黎文科

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