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Chapter 19 Tests of Validity 布尔陈述模式的有效性检验 1. （1）一个布尔存在模式是有效的，当且仅当其词项模式是有效的。 （2）一个布尔存在模式的否定式是有效的，当且仅当其词其模式是不一致（或矛盾）的。 （3）由若干布尔存在模式的否定式形成的析取模式是有效的，当且仅当其中某个否定模式是有效的。 （4）一个存在条件式（前件为一个布尔存在模式或若干布尔存在模式的合取，后件是一个布尔存在模式）是有效的，当且仅当前件中某个布尔存在模式蕴含后件中的布尔存在模式。 （5）一个由若干（1）至（4）的模式组成的合取式是有效的，当且仅当每一个合取肢都是有效的。 2. 将各种布尔陈述模式转化为以上（1）至（5）的形式的方法。可以将每一模式化为标准合取模式。为简明起见，可以将每一个布尔存在模式当作一个陈述字母来处理，甚至可以在草稿上暂时就用单个的字母“p”、“q”等等临时代替它们，只是在得到标准合取模式后再用原来的布尔存在模式代回去。显然，每一个合取肢将是若干布尔存在模式的析取，可以使用“∃(F∨G)↔ ·∃F∨∃G∃”（“∃”对析取的分配律）减少析取肢的数量。经过此番处理，每一个合取肢都成了若干个（可以是零个）布尔存在模式的否定式和至多一个布尔存在模式的析取。（1）如果只含一个布尔存在模式的否定式而不含布尔存在模式，可以用1（2）检验其有效性。（2）如果含有好几个布尔存在模式的否定式而不含布尔存在模式，可以用1（3）检验其有效性。（3）如果只含一个布尔存在模式而不含有布尔存在模式的否定式，可以用1（1）检验其有效性。（4）如果既含有布尔存在模式又含有布尔存在模式的否定式，可以用1（4）检验其有效性，因为“p1∨p2∨…∨pn∨q”等价于“p1p2…pn→q”。（5）根据1（5），只有上述标准合取模式中的每一个合取肢都通过了有效性检验，整个模式才是有效的。以上有效性检验方法可以称为存在条件式方法，因为以上标准合取模式中的每一个合取肢都可以视为一个存在条件式或退化了的存在条件式（缺前件或后件） 3. 细胞存在模式和细胞检验法。所谓细胞存在模式，是指出现所有相关项或相关项的否定式并按字母顺序排列的存在模式。细胞检验法的要点是，是先将待检验的模式转化为细胞存在模式的真值函项；如果该真值函项在所有解释（所有细胞存在模式都为假除外）下都为真，则原模式是有效的，否则无效。 Exercises 1. Test each of the following schemata for validity by the method of existential conditionals. ∃JF→∃(FG1∨JG∨GH) 这是一个条件存在式，只需看前件中的项模式是否蕴含后件中的项模式。显然前件“JF”为真时，后件“FG1∨JG∨GH”可以简化为“G1∨G”，亦为真。所以原模式是一个有效模式。 ∃GJ·∃GK·→∃(FGH∨F1J∨H1K) 这也是一个条件存在式。方法和前面一样，只是要做两次一举检验法，结果都是否定的。因此，原模式不是一个有效模式。 2. Schematize the following statement and test for consistency according to the method of existential conditionals. Some who take logic and Latin take neither physics nor Greek, but all who take either Latin or chemistry take both logic and Greek. 有些选修逻辑和拉丁语的人既没有选修物理学也没有选修希腊语，但所有选修拉丁语或化学的人同时选修了逻辑和希腊语。 F:选修逻辑的人，G:选修拉丁语的人，H:选修物理学的人，J:选修希腊语的人，K:选修化学的人。 ∃FGH1J1·1∃[(G∨K)(FJ)1] 要检验此式的一致性，只需检验此式的不一致性，而此式的不一致性等于其否定式的有效性。因此如果否定式有效，则原式不一致；如果无效，则原式一致。 (∃FGH1J1·1∃[(G∨K)(FJ)1])1 1∃FGH1J1∨∃[(G∨K)(FJ)1] ∃FGH1J1→∃[(G∨K)(FJ)1] 在“FGH1J1”为真的情况下，“(G∨K)(FJ)1”也为真，所以原式的否定式有效，而否定式有效意味着原式不一致（即有矛盾）。 |
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