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话说400年前，伟大的数学家、物理学家牛顿，正在思考关于瞬时速度的问题。 艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日） 速度=路程÷时间，这是小学生都知道的事情，但瞬时速度怎么办？ 比如说知道路程s=t^2，那么t=2的时候，瞬时速度v是多少呢？ 数学家的思维，就是将没学过的问题转化成学过的问题。 于是牛顿想了一个很聪明的办法，取一个“很短”的时间段Δt，先算算t=2到t=2+Δt这个时间段内，平均速度是多少。 计算平均速度的过程 当Δt越来越小， 2+Δt就越来越接近2，时间段就越来越窄，越来越接近时刻，那么平均速度就越来越接近瞬时速度。 如果Δt小到了0，平均速度4+Δt就变成了瞬时速度4。 问题解决了……吗？ 众所周知，教会对“科学”可是相当反感的。牛顿出生没多少年前，罗马教廷刚刚审判了伽利略。虽然牛顿所在的英国，教会势力不像教皇所在的意大利那么强，但在牛顿去世后数年，爱尔兰基尔肯尼教区主教——贝克莱还是发现了牛顿致命的破绽。 乔治·贝克莱 Δt到底是不是0？ 如果是0，那刚才计算速度的时候，怎么能用Δt做分母？小学生也知道0不能做除数。 如果不是0，那4+Δt就永远变不成4，平均速度永远变不成瞬时速度。 按照现代微积分的观点，贝克莱是在质疑limΔt→0，是否等价于Δt=0？无穷小量在牛顿的计算中一会是0，一会不是0。因此，贝克莱嘲笑它是“数的幽灵”。 这个问题的本质，实际上是对初生的微积分的一种拷问。用“无限细分”、“不断逼近”之类运动、模糊的词语，来定义精确的数学，真的合适么？ 由此引发的一系列讨论，史称“第二次数学危机”。 在牛顿、莱布尼茨的年代，作为新生数学，实用价值放在首位。但随着数学的发展，严格化势在必行。这一工作的最终完成，主要归功于柯西和维尔斯特拉斯。在大学高数课本中，他们二人的名字会不断出现。 柯西 维尔斯特拉斯 |
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