-1-
《四元玉鑒》之“嵐峯更落一形”
細說
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：《四元玉鑒》有所謂“嵐峯更落一形”之說，此乃高階等差級數之
一種，本文詳述其形成法及其求和法。清?羅士琳著《四元玉鑑細
草》三卷，其中一問涉及此形，今詳述其問並解之。《四元玉鑑細
草》詳述其義及算法，認為“嵐峯更落一形”乃三角垛數序乘其
“梯田積”，再求其和。
關鍵詞：四元玉鑒、四元玉鑑細草、朱世傑、羅士琳、垛積術、嵐峯形、
落一形、嵐峯更落一形、梯田積
第1節《四元玉鑒》簡介
元?朱世傑著《四元玉鑒》，其中記有類似現代數學之高階等差級數求和法。
朱世傑（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，燕山人。
《四元玉鑒》分卷首，上卷，中卷，下卷，共24門，288問，包括天元術
232問，二元術36問，三元術13問，四元術7問。
1837年﹝道光十七年﹞，清?羅士琳著《四元玉鑑細草》﹝簡稱《細草》﹞
為三卷，詳述各題算法。
《四元玉鑒》有所謂“嵐峯更落一形”之說，此亦高階等差級數之一種，本
文詳述其形成法及其求和法。
-2-
筆者有另文談及《四元玉鑒》之三角垛﹝落一形﹞、撒星形、撒星更落一形
及嵐峯形，此四形亦為高階等差級數求和法。
《細草》詳述“嵐峯更落一形”之意義，認為“嵐峯更落一形”各數乃落一
形﹝三角垛﹞各數乘其相應之“梯田積”，再求其和，見下節及下節之引文。
第2節落一形或三角垛之形成法及其梯田積
“嵐峯更落一形”涉及“落一形”，今先談“落一形”之形成法。“落一
形”即三角垛，最下一層最大之數﹝或最後加之數﹞稱為“底子”；三角垛乃指
物件之堆積，物件排列成三角形，但其數從下至上層層遞減，為方便說明，最上
層為第一層，物數1，第二層物數3，第三層物數6，…第n層為最下層，最
大之數為n，即其“底子”為n，物數為21n(n+1)；所形之堆積物狀稱為
“垛”，或稱為“堆垛”。“三角垛”乃指每層皆呈三角形之堆垛，堆垛物之總
數稱為“積”或“垛積”。三角垛在《四元玉鑒》中乃各種級數之基礎。
《細草》曰：
自下而上以一數遞減，故曰“落一形”。
更清晰而言之，自下至上遞減最大之數，或曰從上至下增一數，所增之數為
自然數數序。通常最上之一數為1。至於“嵐峯更落一形”之形成法，即以下
所云之“乘得數”。
即乘得數=嵐峯更落一形數=三角垛×梯田積
若以招兵數及糧餉數釋之，則三角垛數乃每日所招之兵數，梯田積乃一兵服
役畢之糧餉，嵐峯更落一形數即每日之總糧餉，見第9頁之表﹝注意梯田積之
形成法﹞。
《細草》曰：
三角垛乘梯田積，併之，即“嵐峯更落一形”也。
“併”，相加也。以下為落一形及相應梯田積之積﹝乘得數，設級數有n
層，即有n項﹞：
第一層﹝袤或闊1，高1﹞
-3-
●
底子：1；物數：?
?
1
1r
r=1。
梯田積：1+2+3+…+n=?
?
n
r
r
1
=21n(n+1)，即由1加至n。
乘得數：21n(n+1)×1=21n(n+1)。
第二層﹝袤或闊2，高2﹞
●
●●
底子：2；物數：?
?
2
1r
r=1+2=3。
梯田積：2+3+4+…+n=?
?
n
r
r
1
–?
?
1
1r
r=21(n+2)(n–1)，即由2
加至n。
乘得數：21(n+2)(n–1)×3=23(n+2)(n–1)。
第三層﹝袤或闊3，高3﹞
●
●●
●●●
底子：3；物數：?
?
3
1r
r=1+2+3=6。
梯田積：3+4+5…+n=?
?
n
r
r
1
–?
?
2
1r
r=21(n+3)(n–2)，即由3加
至n。
乘得數：21(n+3)(n–2)×6=3(n+3)(n–2)。
第四層﹝袤或闊4，高4﹞
-4-
●
●●
●●●
●●●●
底子：4；物數：?
?
4
1r
r=1+2+3+4=10。
梯田積：4+5+6…+n=?
?
n
r
r
1
–?
?
3
1r
r=21(n+4)(n–3)，即由4加
至n。
乘得數：21(n+4)(n–3)×10=5(n+4)(n–3)。
第五層﹝袤或闊5，高5﹞
●
●●
●●●
●●●●
●●●●●
底子：5；物數：?
?
5
1r
r=1+2+3+4+5=15。
梯田積：5+6+7…+n=?
?
n
r
r
1
–?
?
4
1r
r=21(n+5)(n–4)，即由5加
至n。
乘得數：21(n+5)(n–4)×15=215(n+5)(n–4)。
…………
第p層﹝袤或闊p，高p﹞
底子：p；物數：?
?
p
r
r
1
=1+2+3+4+…r=21p(p+1)。
-5-
梯田積：p+(p+1)+(p+2)…+n=?
?
n
r
r
1
–??
?
1
1
p
r
r=21(n+p)(n–p+1)，
即由r加至n，其餘類推。
乘得數：21(n+p)(n–p+1)×21p(p+1)；此乃乘得數之通項。
…………
第n層﹝袤或闊n，高n﹞，亦即最下層。
●
●●
●●●
●●●●
●●●●●
………………
●…●…●…●…●…●…●
底子：n；物數：?
?
n
r
r
1
=1+2+3+4+…n=21n(n+1)。
梯田積：n=?
?
n
r
r
1
–??
?
1
1
n
r
r，即由n加至n，即n。
乘得數：n×21n(n+1)=21n2(n+1)。
《細草》之所謂高即層數。將以上各圖重疊，即可得一三角垛或落一形，此
乃基礎形。
以下為落一形數表：
層數r底子r+1r(r+1)21r(r+1)
11221
22363
334126
4452010
5563015
-6-
……………
nnn+1n(n+1)21n(n+1)
求以上所有乘得數之和即為嵐峯更落一形：
即21n(n+1)+23(n+2)(n–1)+3(n+3)(n–2)+5(n+4)(n–3)+
215(n+5)(n–4)+…21(n+p)(n–p+1)21p(p+1)+…+21n(n+1)
=?
?
n
p1
21(n+p)(n–p+1)21p(p+1)
=41?
?
n
p1
(n+p)(n–p+1)p(p+1)
=41?
?
n
p1
(n2+n–p2+p)(p2+p)
=41?
?
n
p1
[–p4+p2(n2+n+1)+p(n2+n)]
=41?
?
n
p1
–p4+41(n2+n+1)?
?
n
p1
p2+41(n2+n)?
?
n
p1
p
=–41×301n(n+1)(2n+1)(3n2+3n–1)+41(n2+n+1)61n(n+1)(2n+1)+
41(n
2+n)
21n(n+1)
=1201n(n+1)[–(2n+1)(3n2+3n–1)+5(n2+n+1)(2n+1)+15(n2+n)]
=1201n(n+1)[–6n3–6n2+2n–3n2–3n+1+10n3+10n2+10n+5n2+5n
+5+15n2+15n]
=1201n(n+1)[4n3+21n2+29n+6]
-7-
=1201n(n+1)(4n+1)(n2+5n+6)
=
!51
n(n+1)(4n+1)(n+2)(n+3)。
上式為n層嵐峯更落一形之積，亦即《細草》所用之式。
上式用以下四式之結果：
??nrr1=21n(n+1)，??nrr12=61n(n+1)(2n+1)，
??nr1r3=41n2(n+1)2及
??nr1r4=301n(n+1)(2n+1)(3n2+3n–1)。
注意嵐峯形為
!41
n(n+1)(n+2)(3n+1)，見筆者另文。
而嵐峯更落一形為
!51
n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1)。
第3節嵐峯更落一形之數學歸納法証明
設一嵐峯更落一形之通項為21(n+p)(n–p+1)21p(p+1)，又設
?
?
n
p1
21(n+p)(n–p+1)21p(p+1)=!51n(n+1)(4n+1)(n+2)(n+3)。
於是：
-8-
??
?
1
1
n
p
21(n+p)(n–p+1)21p(p+1)
=?
?
n
p1
21(n+p)(n–p+1)21p(p+1)+(n+1)?
?
?
1
1
n
p
21p(p+1)
=
!51
n(n+1)(4n+1)(n+2)(n+3)+(n+1)61(n+1)(n+2)(n+3)
=
!51
(n+1)(n+2)(n+3)[n(4n+1)+20(n+1)]。
=
!51
(n+1)(n+2)(n+3)[4n2+21n+20]。
=
!51
(n+1)(n+2)(n+3)(4n+5)(n+4)
=
!51
(n+1)[(n+1)+1][(n+1)+2][4(n+1)+1][(n+1)+3]。
上式相當於
!51
n(n+1)(4n+1)(n+2)(n+3)之n以n+1代替，此乃數學
歸納法之特色，故答案正確。注意(n+1)??
?
1
1
n
p
21p(p+1)之項可從第9頁之表
看出。《四元玉鑑細草?茭草形段七問》有以下一問：
今有茭草五萬三百八十八束，欲令嵐峯更落一形埵之，問底子幾何。答曰：
一十六束。
題目問若將50388束茭草堆積成嵐峯更落一形，試問底層最大數有茭草多
少束？
《細草》以另一種形式表達此規律，《細草》曰：
如象招數喻之，每段所招之兵如三角垛，每人所給之米如梯田積，三角垛乘
梯田積，并之，即嵐峯更落一形也。
設官司依三角垛招兵，初段給米一升，次日轉多一升；次段所招當日給米二
升，次日轉多一升；三段以下可類推，今招一十六日，問：招兵及給米各幾
何？
答曰：兵八百一十六人，米五百三石八斗八升。
以下為《細草》之解說：
-9-
1.某官府招兵，共招十六日，每日所招之兵數依三角垛或落一形數。首日
招兵一人，次日招兵三人，第三日招兵六人，…第十六日招兵一百三十
六人。
2.官兵每日之糧餉等於官府招兵之日數，首日米一升，次日二升，三日三
升，…第十六日十六升。次日所招之兵糧餉作次日算，即二升；第三
日所招之兵糧餉作第三日算，即三升，如此類推，第十六日所招之兵糧
餉作第十六日算，即十六升。
3.官府每日所支付之糧餉即成“嵐峯更落一形”之數。以下為該數之形成
法數表：
十六日之總兵數及總米糧數﹝嵐峯更落一形數表﹞
ABCDEFGHIJKLMNOPQRST
日數
招兵
數
12345678910111213141516
一人糧
餉
總米糧
數斗
1112345678910111213141516136136
23---2345678910111213141516135405
36------345678910111213141516133798
410---------456789101112131415161301300
515------------56789101112131415161261890
621---------------6789101112131415161212541
728------------------789101112131415161153220
836---------------------89101112131415161083888
945------------------------9101112131415161004500
1055---------------------------10111213141516915005
1166------------------------------111213141516815346
1278---------------------------------1213141516705460
1391------------------------------------13141516585278
14105---------------------------------------141516454725
15120------------------------------------------1516313720
16136---------------------------------------------16162176
總數816------------------------------------------------149650388
-10-
上表A欄為招兵日數序，B欄為招兵數，其數依三角垛或落一形數。C至
R為日數及所支付之米糧數，單位升。S欄為梯田積﹝即C至S之和﹞，T欄
為官府每日所支付之糧餉數﹝B×S﹞，此數即“嵐峯更落一形”之數。
“撒星更落一形”可以以官府糧餉之支付作解說﹝見筆者另文﹞，“嵐峯更
落一形”亦可作如是觀，所不同者，二者糧餉之支付法有異。
《四元玉鑑細草》有以下之嵐峯更落一形圖：
今將上圖改列成下表﹝所用之名詞依上圖，此表即第9頁之〈十六日之總
兵數及總米糧數﹝嵐峯更落一形數表﹞〉之主要欄﹞：
-11-
層數21r(r+1)三角積
﹝三角垛﹞
茭草積﹝倒排
三角積﹞乘得數累積和
11136136136
23135405541
361337981339
41013013002639
51512618904529
62112125417070
728115322010290
836108388814178
945100450018678
105591500523683
116681534629029
127870546034489
139158527839767
1410545472544492
1512031372048212
1613616217650388
和816149650388---
從上表可知答案為16束，此即嵐峯更落一形底子。
今設底子為x，依以上公式及題意可得以下之一元五次方程式：
!51
x(x+1)(x+2)(x+3)(4x+1)=50388
1201(4x
5+45x4+194x3+408x2+429x+180)=50388
4x5+25x4+50x3+35x2+6x=6046560
4x5+25x4+50x3+35x2+6x–6046560=0，分解因式得：
(x–16)(4x4+89x3+1474x2+23619x+377910)=0
-12-
故x–16=0，即x=16，即底子為16，從上表可知答案正確。本題不取複
數根。依本題而言，分解因式非一合理之法，蓋若已知(x–16)為因子，即己
知16為答案。招兵之人數依如下之算式算出：
兵之人數=?
?
n
r1
21r(r+1)=!31n(n+1)(n+2)，若n=16，則
??161r!31n(n+1)(n+2)=61×16×17×18=816。
答案正確。
以下為《細草》之天元術籌算式﹝圖旁之x乃現代算式﹞：
原文：立天元一為嵐峯更落一形底子，OI，O為常數，I表一次冪之x，
係數1。即設x為嵐峯更落一形底子。
原文：四之加一束得IIIII，即4x+1。
以天元OI乘之得OIIIII。即x(4x+1)=4x2+x。
-13-
原文：又以天元加一II，即x+1乘之得OIIIIIIIIII，即
(4x2+x)(x+1)=4x3+5x2+x。
原文：又以天元加二III，即x+2乘之得OII–I–IIIIIII，即
(4x3+5x2+x)(x+2)=4x4+13x3+11x2+2x。
原文：又以天元加三，IIII即x+3。乘之得下式：
-14-
即(x+3)(4x4+13x3+11x2+2x)=4x5+25x4+50x3+35x2+6x。
上式為一百二十段﹝即120倍﹞茭草積，此式置於左方，是為“寄左”。
原文：乃置茭草五萬三百八十八束以分母一百二十乘之得六百四萬六千五百
六十為等數，即50388×120=6046560，為等數，即：
4x5+25x4+50x3+35x2+6x=6046560。與左相消得：
4x5+25x4+50x3+35x2+6x–6046560=0，
“與左相消得”即左右兩方減6046560。
最後“四乘方開之”﹝即解一元五次方程式﹞得16。注意古人用“四乘方
開之”而非“五乘方開之”。
《四元玉鑑細草》尚有以下之還原式：
今有茭草一所，令嵐峯更落一形埵之，只云底子一十六束，問積幾何。答曰：
五萬三百八十八束。
術曰：四因底子虛加一以底子乘之，又以底子加一乘之，又以底子加二乘之，
又以底子加三乘之，為實，一百二十而一。
底子即上文之n，而n=16，故嵐峯更落一形積為﹝以下為《細草》之算法，
套用上文之公式﹞：
!51
n(4n+1)(n+1)(n+2)(n+3)
=
!51
×16(64+1)(16+1)(16+2)(16+3)
=
!51
×16×65×17×18×19
=
!51
×1040×17×18×19
-15-
=
!51
×17680×18×19
=
!51
×318240×19
=
!51
×6046560
=50388。
故嵐峯更落一形束數合問。
|
|
