初高中衔接知识专题（六）：无理方程的解法

一、 概念引入

1、 无理式： 像、这样根号下有未知数， 且开方开不尽的根式称为无理式.

2、 无理方程： 含有无理式的方程称为无理方程.

二、 无理方程的解法

例 解方程：

无理方程常见的解法有两种. 

第一种是利用“转化与化归” 的数学思想， 把无理方程转化成我们以前学过的方程， 也就是要把根号给去掉. 要去掉根号， 就要用到开方.  怎么样通过开方把根号去掉？

这是我们要着重解决的问题！思路是， 让根号单独在等号左端， 其它的项都移到等号右端， 就可以解决问题了.

解法一： 移项， 得

两边同乘-1， 得

两边同时开平方， 得

x²+17=(x²-3)² 

即： 

x²+17=(x²)²-6x²+9 

所以

(x²)²-7x²-8=0 

解之得

x²=-1 (舍去)， 或x²=8 

经检验： 原方程的根为

无理方程的第二种方法是利用构造思想和换元思想.

主要是针对根号下的式子，  要在根号外部造出一个和根号下的式子一模一样的式子， 然后用一个字母替换整个根式.

解法二：

原方程可变为：

即

令则原方程化为：

t²-t-20=0 

解之得：

t=-4(舍去)，  或t=5 

于是

经检验： 原方程的根为

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