第十二讲立体图形和空间想象模块一、立体图形展开图正方体展开图口诀：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。十四条边布周围，十一类图记分明。四方成线
两相卫，六种图形巧组合。跃马失蹄四分开，两两错开一阶梯。对面相隔不相连，识图巧排7凹田。释义：正方体展开后，六个面需要七刀才能变成
平面图形；每个展开图一共14条边，共有11类不同的展开图；141型（四方成线两相卫）的有6种；231、33型（像失蹄的马）的有4种
；222型（像阶梯）有1种。相对的两个面展开后不相连，展开图不可能出现以下四种片段（用来排除）。例1．（1）正方体展开图有种，你
能都画出来吗？A．4B．8C．11D．22（2）下图表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A、B、C、D中的。（3
）将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是。解（1）选C；141型（6种）231型（3种）222型和33
型（2）选B；A中△的上角没有对齐上面的线段，所以不对；C中两个相邻面中的线段连在一起，不对；D中有三个面中没有任何线段或三角形
，也不对。（3）选C；例2．（1）把下面这个正方体展开后，究竟哪个展开图是正确的？你能把错误的图形改正确吗？（2）图2位正方体图1
的展开图，图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段，试在图2中画出这些线段。解：（1）选B；更改为（2）模块
二、已知三视图求解例3．（1）已知某立体图形的三视图如下，每个小正方形的边长都是1，请问这个立体图形的体积是。（2）已知某立体图
形的三视图如下，每个小正方形的边长都是1，请问这个立体图形的体积是。解：（1）6；从俯视图看得到（2）9；从俯视图看例4．用若
干块单位正方体积木堆成一个几何体，小明正确地画出了这个几何体的正视图、俯视图和侧视图。则所堆出的几何体的体积至少是。解：18；从
俯视图看，底层是11个，结合正视图和侧视图看第二层至少是5个，第三层有1个，第四层有1个，一共至少是19个。或从上往下看，每一摞最
少是，结果也是18.模块三、综合应用例5．如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、1，则沿长方体的表面从顶点A到顶点F的最短线路的长
为。解：在长方体的平面展开图中，AF=，距离最短。例6．一共无盖的铁皮水箱的展开图如下图（图中数据单位：米），则这个水箱的容积
是立方米。解：设水箱的长、宽、高分别为a、b、c，由图知a+b=7，a+c=5，b+c=4，解得a=4，b=3，c=1，所以水
箱的容积是4×3×1=12（立方米）。随堂测试1．切去一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点，如图所示，现
将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是。解：答案是B。左边与下边的缺角为P点，而右边缺角是另一个点Q，2．如图，长方体的长、宽、
高分别为12、4、1，则沿长方体的表面从顶点A到顶点B的最短路线的长度为。解：展开后最短线路的长度是。3．盛盛根据下面的三视图
断定原立体图形的体积为17（三视图中每个小正方形的边长都是1），盛盛做的对吗？解：从上往下看，每一摞的块数可以是第1种，这时它的体
积是17，也可以是另外的情况，如第二种形式，这时的体积最小只有12.4．沿图的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是立方
厘米。解：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则a=5，a+c=8，所以c=3，b+c=7，所以b=4，体积是5×4×3=6
0立方厘米。5．某种药盒的展开图如下所示，如果长方体盒子的长比宽多4厘米，求这种药盒的体积。解：设长方体的长、宽、高分别为a、b
、c，则a+2c=13，2b+2c=14，a=b+4，解得b=5，a=9，c=2，所以体积是9×5×2=90（立方厘米）。 |
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