第四讲数论基础之进位制模块1、十进制和k进制的相互转化以及k进制下的直接运算例1．（1）在二进制下进行加法：(101010)2+(1010
010)2=()2；（2）在七进制下进行加法：(1203)7+(64251)7=()7；（3）在九进制下进行加法：(178)9
+(8803)9=()9；解：（1）(101010)2+(1010010)2=(1111100)2；（2）(1203)7+
(64251)7=(65454)7；（3）(178)9+(8803)9=(10082)9；例2．在进制中有4×13=
100.解：一定是大于4的进位制，如果是五进制，把式子转化为十进制的数计算，左式(4×13)5=(4×8)10=(32)10，右
式(100)5=(25)10，左式≠右式，不成立；如果是六进制，把式子转化为十进制的数计算，左式(4×13)6=(4×9)10
=(36)10，右式(100)5=(36)10，左式=右式，成立；所以这是在六进制下进行的运算。例3．在6进制中有三位数，化为9
进制为，求这个三位数在十进制中为。解：()6=(a×62+b×6+c)10，()9=(c×92+b×9+a)10，所以36a+
6b+c=81c+9b+a，得35a?3b?80c=0，其中a、c≠0，a、b、c都是小于6的自然数。其中35a与80c都是5的倍
数，所以3b也是5的倍数，若b=0，则有7a=16c，矛盾；所以b=5，得7a=3+16c，得c=2，a=5，所以在六进制中是55
2，在九进制中是255，在十进制中是5×62+5×6+2=212。模块2利用进位制的思想解决问题例4．将2、3、4、5、6、7、
8、9这八个数分别填入下面的八个方格（不能重复），可以组成许多不同的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是。
□□□□?□□□□解：要使结果小，应该借位来减，两个数的千位相差为1，借位之后，得数是一个三位数；在两个百位数相减的过程中，让被
减数尽量小，最小是234，减数尽量大，最大是987，所以6234?5987=247是满足条件的式子。例5．现有6个筹码，上面分
别标有数值1、3、9、27、81、243.任意搭配这些筹码（也可以直选一个筹码），可以得到个不同的和，将这些和加起来，总和为，
将这些和从小到大排列起来第45个是。解：用3进制写出这六个数分别是1、10、100、1000、10000、100000，选1个
数时，得到6个数值；选2个数时，得到15个数值，选3个数时，得到20个数值，选4个数时，得到15个数值；选5个数时，得到6个数值，
选6个数时，得到1个数值，一共可以得到6+15+20+15+6+1=63（个）不同的和；每次选一个数时，得到的6个数的和是(111
111)3=1+3+9+27+81+243=364；每次选两个数时，得到的15个数的和是5×364=1820；每次选三个数时，得到
的20个数的和是10×364=3640；每次选四个数时，得到的15个数的和是10×364=3640；每次选五个数时，得到的6个数的
和是5×364=1820；每次选六个数时，得到的1个数的和是1+3+9+27+81+243=364；所以将这些和加起来，总和为11
648；用3进制考虑。从小到大排列为1、10、11、100、101、110、111、……，只有数字0和1组成，即一位数1个，二位数
2个、三位数4个、四位数8个、五位数16个、六位数32个。一共63个1+2+4+8+16=31，所以第32个数是100000，32
+2+4=38，第39个数是100111，第40个数是101000，第41个数是101001，第42个数是101010，第43个数
是101011，第44个数是101100，第45个数是101101，转换为10进制的是位243+27+9+1=280.例6．N是整
数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b=，使得N是十进制整数的四次方。解：(777)b=(7×b2+7×b+7)10，即7
×(b2+b+1)是某个整数的四次方，7是质数，所以b2+b+1至少含有73=343，若b2+b?342=0，得(b+19)(b
?18)=0，解得b=18.例7．一个正整数的各位数字只含有0和1，且能被522整除，则这样的正整数中最小的是。解：522=2×
32×29，所以该数一定能被2整除，且只由数字0和1组成，所以个位数字一定是0，又该数能被9整除，所以数字和是9的倍数，即可能有9
个1、18个1、……。最小的数可能有9个1，即1111111110.但是1111111110不能被29整除，我们来分析101、10
2、103、……，除以29的余数，同时考虑101、101+102、101+102+103、……、即累积和除以29的余数，列表如下：
1011021031041051061071081091010101110121013余数10131424822172518622
026和的余数10238311421176121452对于10个1?和1个0的数11111111110，把其中任意一个1换成0，都
不能抵消101+102+103+……+1010除以29的余数12，所以这样的数不存在。对于11个1?和1个0的数111111111
110，把其中某2个1换成0，101+102+103+……+1011除以29的余数14，观察知道，可以将(1010+105)=14
（mod29），(109+108)=14（mod29），显然数101111011110比110011111110小，所以这个
数是101111011110.例8．把所有3的方幂及互不相等的3的方幂的和排列成一个递增数列：1、3、4、9、10、12、13、…
…，求这个数列的第100项是。解：用3进制考虑。从小到大排列为1、10、11、100、101、110、111、……，只有数字0和
1组成，即一位数1个，二位数2个、三位数4个、四位数8个、五位数16个、六位数32个、七位数64个；1+2+4+8+16+32=6
3，第64个数是1000000，100?64=36，又1+2+4+8+16=31，1+2+4=7，所以第102项用3进制表示是11
00100，所以第100项是1100010.用十进制表示是36+35+3=975.随堂测试1．在8进制中，一共多位数的数字和
为68，求除以7的余数为。解：设这个多位数是，则()8=(a×8n+b×8n?1+……+c)10且a+b+……+c=68，(a×
8n+b×8n?1+……+c)÷7d的余数与a+b+……+c的余数相同，所以68÷7=9……5，所以余数是5.2．一个十位数字是0
的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。解：设这个三位
数是，=67×(a+b)，则100a+b=67a+67b，得33a=66b，所以a=2b，不妨设此数为402，则402÷6=67，
交换个位数字与百位数字为204，204÷6=34.所以新三位数是它的各位数字之和的34倍。一般的+=100×(a+b)+(a+b
)=101×(a+b)，而=67×(a+b)，所以=34×(a+b)。3．在7进制中，有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制
中为。解：()7=(a×72+b×7+c)10，()9=(c×92+b×9+a)10，所以49a+7b+c=81c+9b+a，
得48a?2b?80c=0，化简得24a?b?40c=0，其中a、c≠0，a、b、c都是小于7的自然数。其中24a与40c都是8的
倍数，所以b也是8的倍数，其中b<7，所以b=0，则有3a=5c，得a=5，c=3；此时在七进制中是503，在九进制是305，在十
进制中是248.4．现有一个百位为3的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数，且首位数字分别是4和5
，这样的三位数中最大的是，最小的是，一共有个。解：在十进制中，这个数最大是399，最小是300；在九进制中，这个数可能最大是
488，最小是400，转化为十进制(488)9=(404)10，(400)9=(324)10，在八进制中，这个数可能最大是577，
最小是500，转化为十进制(577)8=(383)10，(400)8=(320)10，所以在十进制中最大取383，最小取324，一
共有60个这样的三位数。5．观察如图所示的减法算式发现，得数175和被减数571的数字顺序相反，那么减去396后，使得数与被减数的
数字顺序相反的三位被减数共有个。571?396175解：?396=，即100a+10b+c?100c
?10b?a=396，即99a?99c=396，a?c=4，当a=5、6、7、8、9时，c分别等于1、2、3、4、5均成立，b可以
取0~9中的任意数，这样的三位数共有50个。6．一个四位数，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，如果=a+b+c+
d，=a×b×c×d，那么四位数=。解：由题意10a+b=a+b+c+d，所以9a=c+d，其中0+d=9，又=a×b×c×d，10c+d=b×c×d，得9c+9=b×c×d，若b=9，则c+1=c×d，不合理，舍去，c、d也不
等于9，则b、c、d中有两个数是3、6中选取，又c+d=9，故设c=3，d=6，则b=2，若c=6，d=3，则6+1=b×2，矛盾
，舍去。所以=1236。7．在进位制中，下面的算式只有唯一的解。□□×4□□□□□□□□□□解：答案
：6进制；由于4×□□是两位数，个位×□□是三位数，所以下面的乘数最小是45。这样由于出现5，最小的进位制是6进制。上面的乘数中十
位不能是2，因为2×4=8，要进位成为三位数，所以上面的乘数是11~15，下面的乘数只有45，而由于个位中的5×11=55，不进位
，所以不是11，(12×5=104)6，有12×45104521024再用13试一下，(13×4=100
)6，得到的是三位数，也是矛盾的，所以只有这一种解。8．天平的右盘放着11111克重物，逐个地往两盘放砝码，第一个重1克，以后每个
是前一个的2倍重，直到两边平衡为止，此时16克的砝码放在盘。解：(11111)10=(10101101100111)2，相当于在
右盘上已经有了1克、2克、4克、32克、64克、256克、512克、2048克、8192克的重量；从低位看起，把1克、2克的砝码放
在左盘，把4克、8克的砝码放在右盘，把16克的砝码放在左盘；然后32克放在左盘，64克放在右盘，128克放在左盘；256克放在左盘
，512克放在右盘，1024克放在左盘；2048克放在右盘，4096克放在左盘；8192克放在右盘，16384克放在左盘；所以右盘
上共有11111+4+8+64+512+2048+8192=21939克放在右盘上，左盘上放1+2+16+32+128+256+
1024+4096+16384=21939克，此时两边平衡。解法2：(11111)10=(10101101100111)2，设右盘中加入的砝码为A，左盘中加入的砝码为B，则(10101101100111)+A=B，在二进制中A+B=11111……1，A+(10101101100111)+A=11111……1，所以2A=(1111……1)?(10101101100111)=101010010011000，于是A=(10101001001100)2=8192+2048+512+64+8+4，则B=1+2+16+32+128+1024+4096+16384.所以16克砝码放在左盘。 |
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