第十四讲行程综合之高难度行程问题二模块一、多次与多人相遇追及例1．A、B两辆汽车分别从甲、乙两地同时出发，并且在两地之间不断往返行驶，两车
在距离乙地40公里处第一次迎面相遇，在距离乙地10公里处第二次迎面相遇，求甲、乙两地之间的距离是65或55千米。解：第一次相
遇，两车共行了一个全程，其中B行了40千米；第二次相遇，两车共行了三个全程，其中B行了3×40=120千米，此时离开乙地还有10千
米，有两种情况，①若此时是在B返回乙的路途中，则甲乙间的距离是(120+10)÷2=65（千米）；②若此时是B返回乙地之后再往甲
地行驶的过程中，则距离是(120?10)÷2=55（千米）。答：甲乙两地相距为65千米或55千米．例2．甲、乙两人分别从A、B两地
出发，在A、B两地之间不断的往返行走，当甲走了3个来回的时候，乙恰好走了5个来回，在甲乙两人行进的过程中，两人一共相遇了10次
。（迎面碰到和追上都算相遇）解：甲走了3个来回，乙走了5个来回，一共走了8个来回，是16个全程，在共走了1、3、5、7、9、11、
13、15个全程时迎面相遇，所以一共迎面相遇8次。设AB的全程为m，则当甲走了m时，乙走了m，乙比甲多走了(m?m)=m，则当甲、
乙合走了4个全程时，乙比甲多走了1个全程，此时是乙追上了甲。下一次乙从后面追上甲时，是乙比甲又多走了2个全程，即又合走了8个全程，
也就是当他们合走了12个全程时乙追上了甲，这样追上的有2次，所以一共相遇8+2=10次。解2：用柳卡图解题：甲乙速度比3:5，则二
人走一个全程需时间比为5:3，设甲走1个全程的时间为5t，乙走1个全程的时间为3t。在图中，甲的行程用红线表示，乙的行程用蓝线
表示，两线的交点即为他们相交的时刻。从图中可以看出，一共有10个交点，其中8个（黑色的交点）是迎面相遇，2个（红色的交点）是追及相
遇。例3．甲、乙两人同时从A地出发向B地前进，甲骑车，乙步行，与此同时，丙从B地出发向A地前进。甲骑9千米后与丙相遇，而乙走6千米
后就与丙相遇，如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍，A、B两地的距离是12千米。解：甲、丙相遇时，甲走了9千米，乙走到距离A地9
÷3=3千米的位置，乙继续走了6?3=3（千米）与丙相遇，丙走了9?6=3（千米），则乙、丙速度相同，所以乙此时走了6千米，故丙也
一共走了6千米，因此A、B两地距6+6=12（千米）．答：两地相距12千米。例4．A、B两城相距56千米，甲、乙、丙三人分别以每小
时6千米、5千米、4千米的速度前进。甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行，请问出发7小时后，乙正好在甲、丙的中点。解：
设经过t小时，乙正好在甲、丙之间，则AC=6t，AD=5t，BE=4t，D在C、E中点，CD=6t?5t=t，所以DE=t，AE=
5t?t=4t，AB=4t+4t=56，解得t=7.答：出发7小时后，乙正好在甲和丙的中点．解2：设经过t小时，乙正好在甲、丙之间
，则AC=6t，AD=5t，BE=4t，D在C、E中点，CD=6t?5t=t，于是DE=t，则BC=4t?2t=2t，得AB=AC
+BC=6t+2t=8t=56，解得t=7，答：出发7小时后，乙正好在甲和丙的中点．例5．快、中、慢三辆车同时从甲地出发追赶前方的
骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，慢车每小时行18.4千米。解：6
分钟=0.1小时，12分钟=0.2小时，20分钟=小时，AC=0.1×24=2.4千米，AD=0.2×20=4千米，所以CD=4?
2.4=1.6千米，设慢车的速度为V，AE=千米，则DE=千米，又CD是骑车人6分钟的路程，DE是骑车人8分钟的路程，所以DE:
CD=4:3，即，解得V=18.4（千米/小时）。解2：6分钟=0.1小时，12分钟=0.2小时，20分钟=小时，设骑车人在
他们前面x千米，速度为V千米/小时，则0.1×(24?V)=x，0.2×(20?V)=x，所以V=16千米/小时，解得x=0.8千
米，所以×(V慢?16)=0.8，解得V慢=18.4（千米/小时）。模块二、变速变道问题例6．清明节，同学们乘车去烈士陵园扫墓，如
果汽车行驶1个小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果汽车先按原速行驶72千米，再将速度提高三分之一，就
可以比预定时间提前30分钟赶到。那么从学校到烈士陵园有216千米。解：设原来的车速为V车，将车速提高五分之一，车速为V车，后一
段所用的时间比为6:5，时间差是20分钟，所以1份为20分钟，6份为120分钟=2小时，加上先行驶的1小时，所以预定时间为3小
时。第二次汽车先按原速行驶72千米，再将速度提高三分之一，则车速为V车，时间比为4:3，时间差是30分钟，所以1份为30分钟，
4份为120分钟=2小时，所以前面72千米用了也是1小时，所以从学校到烈士陵园的距离是3×72=216（千米）。例7．四辆汽车分别
停在一个十字路口的四条岔道上，它们与路口的距离都是18千米，四辆车的最大时速分别为40千米、50千米、60千米和70千米。现在四辆
车同时出发沿着公路行驶，那么最少要经过24分钟，它们才能设法相聚在同一地点。解：最少需要时速40和时速50的相遇，即时速为50
千米的汽车到达十字路口之后，向时速为40千米的汽车行驶，它们相遇需要(18+18)÷(40+50)=0.4小时=24分钟。其他两辆
车都可以按50千米的时速行驶，也可以在24分钟到达指定地点。例8．男、女两名田径运动员在长120米的斜坡上练习跑步（如图所示，坡顶
为A，坡底为B）。两人同时从A点出发，在A、B之间不停地往返奔跑。已知男运动员上坡的速度是每秒3米，下坡的速度是每秒5米，女运动员
上坡的速度是每秒2米，下坡的速度是每秒3米，请问：两人第一次迎面相遇的地点离A点96米；第二次迎面相遇的地点离A点米。解：
男运动员到B的时间是120÷5=24秒，此时，女运动员走了24×3=72米，男女相距120?72=48米，然后是相遇问题：男上坡，
女下坡，则相遇时间是：48÷(3+3)=8秒，也就是男女都走了3×8=24米，第一次相遇离A点=120?24=96米．把它定为C点
，然后女运动员下行，男运动员上行，女运动员到B点，所用时间24÷3=8秒．此时男运动员走了24米，此时男女相距24+24=48米，
男运动员距A点120?48=72米．男运动员到山顶A点时间72÷3=24秒，此时女运动员往上走24秒距离为24×2=48米．此时双
方相距120?48=72米．然后是男运动员下行，女运动员上行：相遇时间为72÷(5+2)=10（秒），此时男运动员走了5×10=（
米）。解2：用柳卡图做答：A、B两地距离为120米，男运动员上坡的速度是每秒3米，上坡用40秒，下坡的速度是每秒5米，下坡用24
秒；女运动员上坡的速度是每秒2米，上坡用60秒；下坡的速度是每秒3米，下坡用40秒；在图中用红色表示男运动员，用蓝色表示女运动员，
他们第一次相遇在男运动员从山底返回途中与下坡的女运动员相遇在C点。第二次相遇是在男运动员再次回到山顶，又向山下走的过程中与上山的女
运动员相遇在D点。用漏斗模型：C点到山顶的距离是120×=96（米）；D点到山顶的距离山脚120×=（米）。随堂练习1．亮亮
骑着自行车，以每分钟400米的速度，从46路汽车的始发站出发，沿46路车的线路前进，当他骑出1400米时，一辆46路车从始发站出发
，已知这辆车每分钟行600米，每4分钟到达一站并停车1分钟，那么汽车开出分钟后能追上亮亮。解：以5分钟为一个周期，第一周期两者距
离减少了：600×4?400×(4+1)=2400?2000=400（米）两个周期以后，两者的距离是：1400?400×2=140
0?800=600（米）用的时间是：600÷(600?400)=600÷200=3（分钟）共用时：5×2+3=13（分钟）．答：汽
车开出13分钟后能追上亮亮．2．欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间联系往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米，两人同时
从A点出发，到达B点后返回，已知它们第二次迎面相遇的地点距离AB中点5米，A、B之间的距离是130米。解：画一个13份的线段图
，欢欢一次走8份，乐乐一次走5份，会发现：第一次相遇在的位置，第2次相遇在的位置.5÷()=130米.3．甲、乙两人同时从A、B
两地相向出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么A、B两地的
距离为米。A．500B．750C．900D．1200解：画图，因为甲的速度是乙的速度的1.5倍，所以V甲:V乙=3:
2，将AB分成五份，如图所示，第一次相遇在距离A地AB处，第二次相遇在距离A地AB处，两处的距离是AB的，所以AB=300，解得
AB=750（米）。解2：甲的速度是乙的速度的1.5倍，即甲速度:乙速度=3:2，∴时间一定，速度比=路程比，∴甲路程
:乙路程=3:2，∴第一次相遇时，甲行了全长的，乙行了全长的，第二次相遇时，甲乙共行了3个全程，甲共行了全程的3×=，甲折返
行了全程的?1=，∴300米占全程的?=，∴A、B两地的距离为300÷=750米4．甲、乙两人分别从山顶和山脚同时出发，沿同
一山道行进，两人的上山速度都是20米/分，下山速度都是30米/分，甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶4
80米处再次相遇，山道长2100米。解1：设山道长为S米，甲从山顶到山底，再从山底到距山顶480米处，用时为（分钟），乙从山底
走到山顶，休息30分钟，在往山底走480米的用时为，所以=，解得S=2100（米）。解2：甲、乙两人相遇后，如果甲继续行走480
÷20=24（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚，由于乙到达山顶休息了30分钟，所以这个时候乙还需要3
0分钟到达山脚，也就是距离山脚还有30×30=900（米），所以山顶到山脚的距离为900+24×(20+30)=900+1200
=2100（米）。5．一只蜗牛和一只蚯蚓从圆上一点A同时出发，绕圆周相背而行，蜗牛爬第一圈需要6分钟，以后每爬一圈所需要的时间都比
前一圈多1分钟，蚯蚓爬第一圈需要5分钟，以后每爬一圈所需要的时间都比前一圈多4分钟，它们在出发以后90分钟，它们又在A点相遇。
解：由题目的已知条件，设蜗牛爬行m圈后，蚯蚓爬行了n圈，它们正好在A点相遇．则蜗牛回到A点的时间成一个等差数列的和am=，依次得a
1=6、a2=13、a3=21、a4=30、a5=40、a6=51、a7=63、a8=76、a9=90、蚯蚓回到A点的时间成一个等
差数列的和bn=，依次得b1=5、b2=14、b3=27、b4=44、b5=65、b6=90、比较得，它们在出发以后90分钟，又在
A点相遇。6．小明准时从家出发，以3.6千米/小时的速度从家步行去学校，恰好提前5分钟到校。某天当他走了1.2千米时，发现手表慢了
10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校，那么他家离学校
千米；小明跑步的速度是每小时千米。解：由题意，小明从A走到C，AC=1.2千米，比平常耽误了10分钟，于是从C到B跑步比平常
步行追回了5分钟，如果一直跑步，比步行早到15分钟，所以AB:CB=15:5=3:1，解得AB=1.2×3÷2=
1.8（千米）。小明的步行速度是3.6千米/小时，步行1.8千米，用时0.5小时=30分钟，跑步用的时间是30?15=15分钟
，所以跑步的速度是步行速度的2倍，为3.6×2=7.2（千米/小时）。解2：跑步节省了5分钟，跑全程可以节省15分钟，所以全程是1
.2÷=1.8（千米），则1.8÷3.6=0.5小时=30分钟，又30?15=15（分钟），所以跑步的速度是1.8÷=7.2（千米
/小时）。设小明家到学校的距离为S，小明跑步的速度为V，则，即又，所以，解得V=7.2（千米/小时），所以S=1.8（千米）。7．
如图所示，正方形边长是100米，甲、乙两人同时从顶点A、B沿图中所示的方向出发，甲每分钟走75米，乙每分钟走65米，且两人每到达一
个顶点都休息2分钟，求甲从出发到第一次看见乙所用的时间是分钟。解：第一次看见必为甲刚刚到达某一个顶点，而乙在另一个顶点休息
，所以最终时间应该是形如的数，k表示甲休息的次数，而乙花的时间在到之间，最小满足条件的整数k=7，所以第一次看见的数是=（米）。解2：根据图示，可得甲、乙走的距离是正方形的边长，甲走每个边长用时分钟，休息2分钟，加上休息，一共是分钟，乙走每个边长用时分钟，休息2分钟，加上休息，一共是分钟，甲走两周回到A点，用时?2=分钟，离开；乙走7个边长到达A左边的点用时7×?2=?2=（分钟），离开，所以此时甲第一次看到乙。8．两辆汽车都计划用相同的速度从A地去B地，第一辆汽车一帆风顺地按计划匀速行驶到了B地。第二辆汽车在前半段路程遭遇下雪天气，速度仅为原计划的80%，为了赶时间，后半段又提速至原计划的120%行驶，请问：两辆车是同时出发的，第一辆车先到达B地。解：设A、B两地的距离为2S，原计划速度为V，则第一辆车用时为，第二辆车用时为=>，所以第一辆车先到达B地。 |
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