矩阵及变换，以及矩阵在DirectX和OpenGL中的运用问题：左乘/右乘,行优先/列优先,… /.html 2013年09月08日
（一）首先，无论dx还是opengl，所表示的矢量和矩阵都是依据线性代数中的标准定义的：
“矩阵A与B的乘积矩阵C的第i行第j列的元素c(ij)等于A的第i行于B的第j列的对应元素乘积的和。”（实用数学手册，科学出版社，第二版）
例如c12 = a11*b11+a12*b21+a12*b13...
（二）在明确了这一点后，然后我们再看“矩阵的存储方式”，矩阵存储方式有两种，一种是“行主序（row-majororder）/行优先”，另一种就是“列主序（column-major order）/列优先”
1）Direct3D 采用行主序存储
“Effect matrix parameters and HLSL matrix variables can definewhether the value is a row-major or column-major matrix; however,the DirectX APIs always treat D3DMATRIX and D3DXMATRIX asrow-major.”（见d3d9 document/Casting and Conversion 一节）
2）OpenGL 采用列主序存储
“The m parameter points to a 4x4 matrix of single- ordouble-precision floating-point values stored in column-majororder. That is, the matrix is stored as follows”
（见msdn glLoadMatrixf API说明）
存储顺序说明了线性代数中的矩阵如何在线性的内存数组中存储，d3d将每一行在数组中按行存储，而opengl将每一列存储到数组的每一行中：
线性代数意义的同一个矩阵，在d3d 和 ogl中却有不同的存储顺序
线代：a11,a12,a13,a14 d3d : a11,a12,a13,a14 gl: a11,a21,a31,a41
a21,a22,a23,a24 a21,a22,a23,a24 a12,a22,a32,a42
a31,a32,a33,a34 a31,a32,a33,a34 a13,a23,a33,a43
a41,a42,a43,a44 a41,a42,a43,a44 a14,a24,a34,a44
（三）矩阵乘法顺序和规则
矩阵乘法在线性代数中的定义是确定的，然而在不同的实现中出现了“左乘”和“右乘”的区别，或者叫做“前乘（pre-multiply），后乘（post-multiply）”
这个规则取决于vector的表示形式，即行向量还是列向量。如果是行向量，其实就是一个行矩阵。那么表示线性代数意义的“行x列”，就是前乘。矩阵乘法也是如此。
如d3d中，
D3D是行向量，行优先存储，OpenGL是列向量，列优先存储。同一个矩阵用D3D存储还是用opengl存储虽然不同，但是变换的结果却是相同，
因为opengl 变换向量是把向量视作列向量，并同矩阵的每一列相乘，用来实现线性代数中同一个变换。
我们通常很难看到opengl变换坐标的代码，以下代码出自opengl sourcecode，让我们一窥顶点变换的“庐山真面目”
void FASTCALL __glXForm3(__GLcoord *res, const __GLfloat v,const __GLmatrix *m)
{
__GLfloat x= v[0];
__GLfloat y= v;
__GLfloat z= v;
res->x= x*m->matrix[0][0] + y*m->matrix[0] +z*m->matrix[0]
+ m->matrix[0];
res->y =x*m->matrix[0] + y*m->matrix +z*m->matrix
+ m->matrix;
res->z =x*m->matrix[0] + y*m->matrix +z*m->matrix
+ m->matrix;
res->w =x*m->matrix[0] + y*m->matrix +z*m->matrix
+ m->matrix;
}
可见确实如上所述，“OPENGL列向量和矩阵的每一列相乘，仍然表示线性代数行向量和矩阵的每一行相乘”
再来看一下opengl 矩阵相乘，“用a的每一列去乘b的每一行”。
void FASTCALL __glMultMatrix(__GLmatrix *r, const __GLmatrix *a,const __GLmatrix *b)
{
__GLfloatb00, b01, b02, b03;
__GLfloatb10, b11, b12, b13;
__GLfloatb20, b21, b22, b23;
__GLfloatb30, b31, b32, b33;
GLint i;
b00 =b->matrix[0][0]; b01 = b->matrix[0];
b02 = b->matrix[0]; b03 = b->matrix[0];
b10 =b->matrix[0]; b11 = b->matrix;
b12 = b->matrix; b13 = b->matrix;
b20 =b->matrix[0]; b21 = b->matrix;
b22 = b->matrix; b23 = b->matrix;
b30 =b->matrix[0]; b31 = b->matrix;
b32 = b->matrix; b33 = b->matrix;
for (i =0; i < 4; i++) {
r->matrix[0] = a->matrix[0]*b00 +a->matrix*b10
+ a->matrix*b20 + a->matrix*b30;
r->matrix = a->matrix[0]*b01 +a->matrix*b11
+ a->matrix*b21 + a->matrix*b31;
r->matrix = a->matrix[0]*b02 +a->matrix*b12
+ a->matrix*b22 + a->matrix*b32;
r->matrix = a->matrix[0]*b03 +a->matrix*b13
+ a->matrix*b23 + a->matrix*b33;
1。矩阵和线性变换：一一对应
矩阵是用来表示线性变换的一种工具，它和线性变换之间是一一对应的。
考虑线性变换：
a11*x1 + a12*x2 + ...+a1n*xn = x1
a21*x1 + a22*x2 + ...+a2n*xn = x2
...
am1*x1 + am2*x2 + ...+amn*xn = xm
对应地，用矩阵来表示就是：
|a11 a12 ... a1n | |x1| |x1 |
|a21 a22 ... a2n | |x2| |x2 |
|... |* |...|= |... |
|am1 am2 ... amn | |xn| |xm |
也可以如下来表示：
|a11 a21 ... am1|
|a12 a22 ... am2|
|x1 x2...xn|*|... |= |x1 x2 ... xm |
|a1n a2n ... amn|
其中涉及到6个矩阵。分别为A[m*n],X[n*1],X [m*1]以及X[1*n],A[n*m],X [1*m]。
可以理解成向量x(x1,x2,...,xn)经过一个变换矩阵A[m*n]或A[n*m]后变成另外一个向量x (x1 ,x2 ,...,xm ))。
2。矩阵的表示法：行矩阵 vs. 列矩阵
行矩阵和列矩阵的叫法是衍生自行向量和列向量。
其实，矩阵A[m*n]可以看成是m个n维的row vector构成的row matrix，也可看成是n个m维的columnvector构成的column matrix。
其中，X[n*1]/X [m*1]就等价于1个n/m维的columnvector。X[1*n]/X [1*m]就等价于1个n/m维的row vector。
Row matrix和Columnmatrix只是两种不同的表示法，前者表示把一个向量映射到矩阵的一行，后者表示把一个向量映射到矩阵的一列。
本质上体现的是同一线性变换。矩阵运算规定了它们可以通过转置运算来改变这个映射关系。
3。矩阵的相乘顺序：前乘或左乘 vs. 后乘或右乘
需要注意的是两种不同的表示法对应不同的运算顺序：
如果对一个column vector做变换，则变换矩阵(rowmatrix/vectors)必须出现在乘号的左边，即pre-multiply，又叫前乘或左乘。
如果对一个row vector做变换，则变换矩阵(columnmatrix/vectors)必须出现在乘号的右边，即post-multiply，又叫后乘或右乘。
一般不会弄错，因为矩阵乘法性质决定了相同的内维数的矩阵才能相乘。至于为什么是这个规律，为什么要row vector乘以columnvector或column vector乘以row vector???想想吧。。。
所以左乘还是右乘，跟被变换的vector的表示形式相关，而非存储顺序决定。
4。矩阵的存储顺序：按行优先存储 vs. 按列优先存储
涉及到在计算机中使用矩阵时，首先会碰到存储矩阵的问题。
因为计算机存储空间是先后有序的，如何存储A[m*n]的m*n个元素是个问题，一般有两种：按行优先存储和按列优先存储。
row-major：存成a11,a12,...,amn的顺序。
column-major：存成a11,a21,...,amn的顺序。
这样问题就来了，给你一个存储好的矩阵元素集合，你不知道如何读取元素组成一个矩阵，比如你不知道a12该放在几行几列上。
所以，每个系统都有自己的规定，比如以什么规则存储的就以什么规则读取。DX使用Row-major,OGL使用Column-major.即一个相同的矩阵A[m*n]在DX和OGL中的存储序列是不一样的,这带来了系统间转换的麻烦。
不过,一个巧合的事情是:DX中，点/向量是用Row Vector来表示的，所以对应的变换矩阵是ColumnMatrix/Vectors,而OGL中，点/向量是用Column Vector来表示的，所以对应的变换矩阵是RowMatrix/Vectors.所以,如果在DX中对一个向量x(x1,x2,x3,1)或点(x(x1,x2,x3,1))应用A[4*4]的矩阵变换，就是x = x(x1,x2,x3,1) *A[4*4],由于采用Row-major，所以它的存储序列是a11,a12,...,a43,a44。在OGL中，做同样的向量或点的变换，因为其使用Row
Matrix/Vectors,其应用的变换矩阵应该是A [4*4] ＝ A[4*4]( 表示Transpose/转置)，就是x = A [4*4] *x (x1,x2,x3,1),但是由于采用Column-major,它的存储序列正好也是a11,a12,...,a43,a44!!!
所以实际上,对DX和OGL来讲,同一个变换,存储的矩阵元素序列是一样的.比如:都是第13,14,15个元素存储了平移变化量deltaZ,deltaY,deltaZ.
Refs:
/Matrix.html
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