中小学数学解题研究＿２０１６年１０月下旬（高中）
例谈极化恒等式的应用
ｙ
福走名象州第玉中学（３６２０００）城洲ＭＵ矣．．
．
．
．
１极化恒等
式
麵：如图２，取ｂｃ中点ｚ＞，
｜
Ｉ５
｜
＝
｜
Ｉ５－ＩＳ
｜
＝２
．
人教Ａ版必修４第二章“平面向量应用举例
”的例
由极化恒等
式
；，得
Ａ
题１中，证明了平面
几何中
一个常见的结论
，即“平行
１５．１＾
’
／
四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的
＝丄＼
两
户
”４／／
，ｘ
２
，
，
，
，
＾
因为△从Ｃ为锐角三角形，故当
Ｊ＼
证
明：（ａ＋６）＝
｜
ａ
ｊ
＋
１
６卜２“’①
Ｃ＇丄＇ｓ时，
｜外｜
项
丨
＝１最
ｆ
、＼
（ａ
－６
）
２
＝
｜
ａ
｜
２
＋
｜
６
｜
２
－２
ｏ
－６
，
②
小
■
’
Ｘ
由①＋＠’得（ａ＋６）
２
＋
（
“
－６
）
２
＝２
｜
ａ
｜
２
＋２
｜
６
ｆ’
即
证
．
当
ＣＡ
Ｊ
ＢＣ时，
｜
？
｜
＝
｜
３
＾Ｂ
｜
＼
八巧
则，把两个
，
子相减即可得到另一个常用结
＝
游
馱
？因此０＜３５
．１５＜
１２，＾ｌ
＾ｃ
论，
及
“极化恒等式
即的取值范围是（０，１２
）
＿
图２
由①－②，得ｄ．６＝讲ａ＋６）
２
－
（ａ
－ｆｉｆ
｜
，我们把上
例３（２０１３年高考浙江卷）在
述恒等式称
“极化恒等式Ａ
４ＳＣ中，
Ｐ。
題
仙上
一定点
，满足ＰＱＢ
＝
，且对于
２利用极化恒等式简解向量關积的范围问题
边ＡＢ上
ｆ点
Ｐ，
酿
？ｇ．
ｒｃ
？
￥
，则（）
平面向量数量积的取值范围问题在高考中考查
／Ｌ
Ｚ７ｌｆｉｅ＝９（）
。
Ｂ．Ａ￡ＡＣ
＝
９０
的一个重点．求数量积的范围问题时，虽然可以从向Ｇ
．Ｄ．ＡＣ
＝
ＢＣ
量的坐标表示入手求解，但是其
解题过程常常会由于
解析：如图
３，取ＳＣ的中点￡，连接ＰＥ．
计算复杂、过程繁冗而导致错误．而利用极化恒等式
由极化恒等式
可得
，
求解数量积的取值范围问题，往往能化繁为简，迅速
ａ
求解？」．
下面我们分别以多边形、圆、圆锥曲线为背景，介＝两、
碑
２
／
／＼Ｖ
＇
绍极化恒等式的解题应用．
？ｔ
＿
＿＿
＿２
／
／／＾！＼
２．１以多边形为背景的问题３；ｐ〇Ｂ
－ｐ
〇ｃ
＝ｐ
〇Ｅ／＼
／＼
例１已知正方形ＡＳＣｆｌ的面积为２，点尸在边－＾§
２
－
＾
ＰＰ０
／Ｉｆｌ上，则？Ｓ．Ｐ５的最大值为（）
因
为对于边上任一点
图３
Ａ．ｆ
Ｂ．｜
Ｃ．２Ｄ．Ｖ２Ｐ，恒有两即恒有
｜
Ｍ
｜叫巧｜
恒
解
析：如图１，取ＣＺ）的中点￡，连结成立，所以Ｐ０￡＿Ｌ４Ｓ’从而／ＩＳ边上的中线垂直于
由极化恒等式可得，４ＳＫＣ＝ＳＣ－
ｐｎＰｒ－ｉｒｈ＾
２
＿
ｒｎ
２
ｌ－Ｐ？
２
＿
ｌ
２．２以圆为背景的问
题
ＰＤ－ＰＣ－
＾］｛
２ＰＥ
）ＣＤ
＾
－ＰＥ
例４
已
知肋为ＢＵ２＋ｙ２＝ｌ的
一条直径
，点Ｐ
．
ｎ
为直线％－ｙ
＋２＝０
上任
龍
当／
＞与
邶）
重合时’
Ａ
［
—
＾
＼
Ｄ
意－点，则丙？？§的最小
ｆ
｜
Ｐ￡
｜
＝
Ｊｆ
最大．Ｐ
＾
－
值为（）
ｐ
／２
ｍ（
ＰＤ．ＰＱ
＾
－２
．
＾
＼
Ｅ
Ｃ．＼ｌ：ｆ－
Ｔ
２
／＾
７＼
，在，
，
中’已，
ｃ
｜恒＝
图＾＾
＂
ｙ
ｙ
屈
．
Ｍ取
值
范围是
．
｜
故当ｏｐ丄細，即
图４
第５２页
２０１６年１０月下旬（高中＞－
解题
研
究中小学数学
｜
ＯＰ
｜
＝
忑时
，两
■
西取得
最小值
１．＝
（
＊＊－ｌ
）
２
＋ｙ
？
－４
＞
（
ｌ－ｌ
）
２
＋
〇－４
＝
－４
，
例５已知ＡＳ是圆０的直径＜４６长为２，Ｃ是圆０上
所以
丙，
丽
彡
－４
．
异于木Ｂ的一点，Ｐ是圆０所在平面上任意一点，则
＾
卜
２
ｙ
２
（
Ｈ＋
两
）
？
死的最，Ｋ
＿）
例８若点０和点Ｆ分别为楠圆
Ｔ
＋
Ｔ
＝
ｌ的中
＿
１心和
左焦点，点Ｐ为椭圆上的任意
一点
，则Ｄ？？砰的
４
＇
３最大值为多少？
ｃ
］
Ｄ．
＿
１
ｒ
解析
：如图５，取ＯＣ的中
＼
＾
ｖｖ
［
ＰＡ＋ＰＢ
）
－ＰＣ
＝
２Ｐ０－ＰＣ．
ｂ
＼
！
由极化恒等式得，
？？５
＇
．
Ｐ０■ＰＣ
＝
＼［｛２ＰＤｆ
－
ＯＣ
２
］
＝
ＰＤ
２
－＼
．
图８
因此当Ｐ为〇Ｃ中点时，艮Ｐ
＾
０时，
解析：取＿中点
ｆ「
，由极
２
化１式得：
２
，
怦，
■
死取得最小值
Ｗ
．
Ｗ
＝
Ｗ
．
Ｗ＾２Ｗ
）
－
Ｗ
］
＝ＰＤ
＾ｌ
．
例６
已知正三角形ＡＢＣ内接于半径为２的圆
故当尸为椭圆的右顶点时，
｜
ＰＤ
｜
＝
！最大，从而
０，＾
＾
１
０上的一个动点，
ｃ
ｗ
，ｊｐ
＝６
求围
：Ｄ
ｔｏ＊
例９＃点０和点／＇（－２，０）分别是双曲线
点／），连结ｃｚ＞．
（／
〇ｉＪ＾ｓＡ
Ｐ
ｙ
２
＝１
（ａ＞〇）的中心和左焦点，点
ｐ为
双曲线右支
上任
因
》
△仙Ｃ为
ｇ
三角形’
意
－点
，则５Ｐ．ＦＰ的取值范围是．
所以０为的重心，０在＾
ｄ
／Ｂ
ＣＺ）上，且０Ｃ＝２０Ｄ
＝
２，所以ｙ
ＣＤ
二
３，ＡＢ＝２Ｓ？
图６’
由极化恒等式得：＼
ＰＡ－ＰＢ
＝
＼
ＰＤｆ－＼
＼
ＡＢ
ｆ
＝
＼
ＰＤ
ｆ
－３
．
＿
Ｖ＾＾Ｘ
－
因为ｐ在圆〇上，所以当尸在点ｅ处时，
义
Ｖ
ＩＰＺ）
Ｕ
＝
３；当ｐ在ｃｏ的延长线与圆〇的交点处时，
＼
丨仙丨
－
＝１
，
所
以丙．沔取值范围为
［
－２
，６］．图９
２．３以圆锥曲线为背景的问题
解析：由题知忑？
例７已知抛物线／＝４＊的焦
＠１
，直线ｆ交
取０
／ｒ的中点公／由极化恒等式得：
于抛
物线两气４，Ｓ，且
丨
圳
＝４
，求Ｋ４
．ｆＢ的
取值沮
．
＿
？
砰
＝
＿
？
两
＝丄
＿
（
２两
）
２
一
丽
２
＝
西
围．－４込－
解析
：如图７．由题知，
故当
Ｐ为双曲线的右顶点时，
｜
ＰＺ）
｜
＝
ａ＋ｌ最小．
抛物线ｙ
２
＝４
＊的焦点
Ｂ
ｒ
＼／
＾
Ｍａ（
〇Ｐ－ＦＦ
）．＝（ｌ＋，］３）
２
－ｌ
＝３＋２＞
／３．
Ｍ（
Ｗｍ）
，过从
Ｍ分别
而当Ｐ的横坐标趋近正
无穷大时
，０？？砰的取
斗
ｊＢＳ＾ＭＡ
垂直于准线／，
＿
．／
＼
值趋近于
则Ｎ■—１ｘ所以？ＦＰｅ［３＋２＊ｖ／５
＂
，
＋ｃ〇
）
？
－－
〇
－
ｔ
—
参考文献
２
＼ｙ
［ｉ］刘绍学，章建跃．普通高中课程标准实验教
ＪＡＦ＼＋＼Ｂｌｌ
＾
＼Ｍ
＝２
，
＇
…―
科书？数学（必
修
４）［Ｍ］．北京？？人
民
教育出
版社，
Ｍ
图７
［２］王
红
权，李学军，朱成万．巧用极
化桓等式，
ＴＡ．ｎ
－Ｆｔ
－
＾
－
Ｗ
－，
；＝
解－类向量题⑴■中学教研
．
数学，■
⑴
：
＇
第５３页
|
|
