数学可以这样玩儿

西窗听雨 2017-08-22

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1. ==== 送花瓶 ====

古时候有一位商人要让伙计将一个精致的花瓶送到买主的手里。买主住在很远的地方，路途中间要经过土匪出没的地方。土匪要是见到花瓶就会抢走。但土匪不会打开锁着的东西，只要把花瓶锁在箱子里就可以安全地送到目的地（这土匪看起来还很文明）。所以商人准备了一个大箱子，在箱子上装了个很大很结实的的锁扣，足以挂几把锁。商人还准备了一把精致的铁锁将花瓶锁在箱子里。这把铁锁的钥匙是独一无二的，没有这把钥匙，按照当时的技术箱子是绝对打不开的。但问题来了，土匪只要见到钥匙就会没收。钥匙都是没法安全地送到买主的手里的。买主也不能把自己的锁送给卖主用。在几经周折后，买主终于得到了他心爱的花瓶。请问这花瓶是如何送到买主的手里的？

这是一个故事，但故事里的技术是实在的，也确实运用到了如今的高科技中。在互联网中怎样将信息安全地送到目的地而不被黑客在中途截获，也是成功地运用了类似的方法。你知道故事的答案吗？

答案：

1 把花瓶锁在箱子里（这把锁只有商人能开，称为“锁1”），然后运到买主手里。

2 买主收到箱子后，在箱子上再加上自己的锁（这把锁只有买主能开，称为“锁2”），然后把箱子运回给商人。

3 商人收到箱子后，把锁1打开拿走，这时候箱子上只剩下锁2，然后把箱子运给买主。

4 买主收到箱子后，打开锁2，就成功拿到花瓶。

解释：（互联网的例子）

比如有一客户B（Buyer）想在一商家网站A（Amazon）登陆购买东西，他必须把自己的登陆密码字符串“SECRETE”安全地送达A（如图一），而不被黑客C（Capture）在中途截获破译。在互联网上不想被黑客在中途截是不太可能的，能做到的是当密码被黑客在中途截获后无法破译和使用。下图（二、三、四）所示过程便是一种解决方案，与此题目所用道理相同。

2. ==== 扑克牌 ====

一付54张扑克牌，其中有十张是翻过来的。现在把你的眼睛蒙上（绝对没有偷看的可能），让你把扑克牌分成两叠（两叠的多少可以不一样）。要求在两叠中翻过来的扑克牌是相等的。请问该怎么做？

除了扑克牌的数目，其它因数（扑克牌大小，重量，颜色，表面触摸的感觉，等等）不参与题目之中。扑克牌可以任意次重新排序、翻转。

10张翻过来的扑克牌是随机分布在扑克牌中。

答案：

第一步，你在这54张牌中任意取出10张，现在，扑克牌分成了两叠。44张和10张。

第二步，44张那叠不动，将10张这叠每张都翻过来，便得到了符合条件的两叠牌。

解释：

第一步之后，设44张那叠中正面牌x张，10张那叠中正面牌则为10-x张。

第二步之后，44张那叠中正面牌保持x张，10张那叠反过来了：反面牌为10-x张，正面牌x张。

3. ==== 切蛋糕 ====

有一个长方形的蛋糕，中间已被挖去了一个长方形的坑。这长方形的坑不在蛋糕的中央，也不与蛋糕的周边平行。两位小朋友想平分这个蛋糕，请问如何一刀将但蛋糕分成两个体积相等的部分？条件：只能切直的一刀，而且不能拦腰将蛋糕分成上下两个部分（因为蛋糕上面有好吃的糖果。

答案：

沿着两个矩形的中心连线切下去即可。

解释：

两份蛋糕图形的面积相等，都等于大矩形面积的一半减去小矩形面积的一半。

4. ==== 分金条 ====

有个商人雇用了一位手艺高超的工匠了为他做一个精致产品，工作一星期七天的代价是一条金条。商人手头上有一条金条，刚好有可以付工匠一星期的工钱。但工匠要求工钱要按每天来付。虽然他并不急着用钱，每天有钱进账，老人心里总是踏实一些。但商人家中有个规矩，金条每星期只能切二刀。后来商人想出以了个切割金条的办法，满足了工匠的要求。你知道商人是怎么切割金条才能满足工匠的吗？

答案：切成1、2、4。

解释：

这三个二进制数的组合能表示0-7中的任何一个。

5. ==== iPhone 4位数密码 ====

一个朋友打开了他的iPhone，我一把把它抓过来说：‘嗯，9、6、0，和1，对吧？’。因为有浓重的手指印在这四个数字上面，我正确地推定这与他的密码相关。他吓了一跳，因为如果我是一个贼，我可以很容易解开他的电话。因为所有的四个数字在四位数字代码中只有一次出现（据我所知，这只有4 x 3 x 2 x 1 = 24种可能）。因而，取四个不同数字作代码不是非常安全的。

所以，当我设定密码时，我选择了重复的数字（如1-2-3-1）。这样一来，如果有人会看我的手机，即使他们能够探测到我的手指印，他们要么在猜想第四个数字（不存在），或者，他们如果弄清楚我只用三个独立数字，他们将不得不尝试在一个四位数代码中，列出这三个不同数字所有可能的排列。

问题是：

1．在一个四位数的代码中，只使用三个数字对安全是否确实有帮助？

2．如果只重复使用两个独立的数字会不会更好呢？

答案：用三个数字最安全，两个数字最不安全，四个数字居中。

解释：

4个位置不同时,排列数=4*3*2*1=24

3个位置不同时,排列数=C(4,2)*2*3=36

2个位置不同时,排列数=3个重复情况（4+4）+两两重复情况（6）=14。

6. ==== 左轮枪 ====

这也是个概率问题，是某公司招聘员工面试时提的问题：

“让我们来玩个游戏”，招聘人开始了。“你现在被牢牢地绑在椅子上不能动。这是一把枪，一把六星左轮抢，六个弹槽都空着。现在，我把两颗子弹装入弹槽。看到我把子弹装入两个相邻的弹槽了吗？我把轮子合上，然后用手拨动让轮子转动几圈。我把枪对着你的头，扣动了扳机，…，叭。你真幸运！第一枪撞针没打中子弹。然后，我要再扣一次扳机。”

招聘人接着说：“我可以直接扣动扳机，或旋转轮子一下再扣扳机，你可以选择其中一种，请问，你选哪一种方法呢？”

庆幸的是这只是一把想象中的枪。招聘人只是用手势做出旋转轮子和扣动扳机的样子。但不幸的是你的前程却掌握在挥舞着‘手枪’的家伙的手里。

当然，这两种方法都不是你要的，但其中一种方法的生存的机会会大一些。你到底应该选择哪一种方法呢？

答案：选择‘不转’，因为被打死的概率更小。

解释：

题中说：子弹是装入两个相邻的弹槽，左轮枪是一格一格往下转的，如右图所示。

1. 第一枪没有打出子弹，因此，第一枪的位置只可能是A、B、C、D。那么，接连第二枪的位置就会是第一枪的下面一个，也就是：B、C、D、E，这4个位置中，只有E有子弹。所以，如果直接扣动扳机，几率=1/4。

2. 如果重新把轮子转一下，左轮枪将处于随机的位置，6个格子有2颗子弹，这时挨枪的机率为2/6=1/3。

3. 1/4 < 1/3，‘不转’死的几率更小。

7. ==== 导火索 ====

有两根导火索，它们的长度都是正好1分钟烧完。但是它们燃烧的速度是不均匀的。也就是说，你不能用一小段的长度与总长度的比值来确定燃烧完这一小段的时间。

用这两根导火索和一只打火机，没有其它计时器的帮助，请你给我报告两次时间信号：开始的时间t1、结束的时间t2。时间t1和t2准确地相差45秒。

答案：将其中一根的两头，以及另一根的一头，同时点燃，这个时刻定为t1。当第一根烧完时，立即后点燃第二根的另一端，第二根烧完的时刻便是t2。

解释，见下图：第一根两头点燃，直到烧完，时间是30秒。这时第二根也烧了30秒，因第二根只点了一端，因而只烧完了一半时间，剩下的部分还能烧30秒，这时马上点燃它的另一端，变成从两头同时烧，因而烧完的时间是15 秒，加上开始的30秒，总共历时45秒。

8. ==== 计时沙漏 ====

沙漏（hourglass）是最早使用的计时仪器之一。如下图（a）中所示的沙漏，是上下对称的，可以倒来倒去地计时。比如说，如果有一个2分钟的沙漏，你便可以漏一次得到2分钟，漏完后立即倒过来，再漏完，总共得到4分钟的时间。

现在，给你一个4分钟的沙漏，和一个7分钟的沙漏，它们都是可以倒来倒去的对称沙漏。如何将它们配合使用，才能得到准确的、从开始到结束总共9分钟的时间？

用图形，我们可以更方便地说明这个问题。一个沙漏某时刻的状态可以用上下重叠的两个带数字的方格表示，例如，上图（b）所表示的是7分钟沙漏的初始状态和漏了2分钟后的状态。上图中的（c）则是要请你回答的问题。

设7分钟的沙漏为A，4分钟的为B，

A，B同时漏， 4分钟后，状态为（A ： 3，4）；（ B：0，4）；

B倒过来， 3分钟A漏完全后，状态为（A ： 0，7）；（B：1，3）；

A倒过来， 1分钟B漏完全后，状态为（A ： 1，6）；（B：0，4），

A倒过来, 1分钟后，状态为（A ： 0，7）；

9. ==== 方格子====

有一张8×8=64个格子的格子纸，右上角和左下角各被剪去一格，如图左所示：

女儿有31张长方形的卡片（中图），每张刚好是两个格子。女儿想：剪掉了两个角的格子纸面积和31张卡片总面积一样大，因此，她想用卡片作拼图，把格子纸盖起来，但她拼来拼去都不成功，你能帮帮她吗？或者……

答案：不可能覆盖起来。

解释：不是面积相等就能覆盖的！女儿难不倒将军。不过，8岁的女儿不懂高深的数学，将军想了一个巧妙的方法解释给她听。他将8×8的格子纸涂成黑白相间的国际象棋棋盘（下左图），又举了2×2方格纸剪去两角为例。看下面右图，剪去的两个小方块都是黑色的，剩下两个白方块处于对角的位置，怎么可能被一个黑白的卡片覆盖呢？图中一目了然，小女儿很快就明白了。