协方差与协方差矩阵

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引言

最近在看主成分分析（PCA），其中有一步是计算样本各维度的协方差矩阵。以前在看算法介绍时，也经常遇到，现找了些资料复习，总结如下。

协方差

通常，在提到协方差的时候，需要对其进一步区分。（1）随机变量的协方差。跟数学期望、方差一样，是分布的一个总体参数。（2）样本的协方差。是样本集的一个统计量，可作为联合分布总体参数的一个估计。在实际中计算的通常是样本的协方差。

随机变量的协方差

在概率论和统计中，协方差是对两个随机变量联合分布线性相关程度的一种度量。两个随机变量越线性相关，协方差越大，完全线性无关，协方差为零。定义如下。

$$\mathrm{cov}(X,Y)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$$

当$X$，$Y$是同一个随机变量时，$X$与其自身的协方差就是$X$的方差，可以说方差是协方差的一个特例。

$$\mathrm{cov}(X,X)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(X-\mathrm{E}[X])]$$

或

$$\mathrm{var}(X)=\mathrm{cov}(X,X)=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]$$

由于随机变量的取值范围不同，两个协方差不具备可比性。如$X$，$Y$，$Z$分别是三个随机变量，想要比较$X$与$Y$的线性相关程度强，还是$X$与$Z$的线性相关程度强，通过$\mathrm{cov}(X,Y)$与$\mathrm{cov}(X,Z)$无法直接比较。定义相关系数$\eta$为

$$\eta ={\displaystyle \frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)\cdot \mathrm{var}(Y)}}}$$

通过$X$的方差$\mathrm{var}(X)$与$Y$的方差$\mathrm{var}(Y)$对协方差$\mathrm{cov}(X,Y)$归一化，得到相关系数$\eta$，$\eta$的取值范围是$[-1,1]$。$1$表示完全线性相关，$-1$表示完全线性负相关，$0$表示线性无关。线性无关并不代表完全无关，更不代表相互独立。

样本的协方差

在实际中，通常我们手头会有一些样本，样本有多个属性，每个样本可以看成一个多维随机变量的样本点，我们需要分析两个维度之间的线性关系。协方差及相关系数是度量随机变量间线性关系的参数，由于不知道具体的分布，只能通过样本来进行估计。

设样本对应的多维随机变量为$\mathbf{\text{X}}=[X_1,X_2,X_3,...,X_n{]}^T$，样本集合为$\{{\mathbf{\text{x}}}_{\cdot j}=[x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}{]}^T|1⩽j⩽m\}$，$m$为样本数量。与样本方差的计算相似，$a$和$b$两个维度样本的协方差公式为，其中$1⩽a⩽n$，$1⩽b⩽n$，$n$为样本维度

$$q_{ab}={\displaystyle \frac{\sum _{j=1}^m(x_{aj}-{\overline{x}}_a)(x_{bj}-{\overline{x}}_b)}{m-1}}$$

这里分母为$m-1$是因为随机变量的数学期望未知，以样本均值代替，自由度减一。

协方差矩阵

多维随机变量的协方差矩阵

对多维随机变量$\mathbf{\text{X}}=[X_1,X_2,X_3,...,X_n{]}^T$，我们往往需要计算各维度两两之间的协方差，这样各协方差组成了一个$n\times n$的矩阵，称为协方差矩阵。协方差矩阵是个对称矩阵，对角线上的元素是各维度上随机变量的方差。我们定义协方差矩阵为$\mathrm{\Sigma }$，这个符号与求和$\sum$相同，需要根据上下文区分。矩阵内的元素${\mathrm{\Sigma }}_{ij}$为

$${\mathrm{\Sigma }}_{ij}=\mathrm{cov}(X_i,X_j)=\mathrm{E}[(X_i-\mathrm{E}[X_i])(X_j-\mathrm{E}[X_j])]$$

这样这个矩阵为

$$\mathrm{\Sigma }=\mathrm{E}[(\mathbf{\text{X}}-\mathrm{E}[\mathbf{\text{X}}])(\mathbf{\text{X}}-\mathrm{E}[\mathbf{\text{X}}]{)}^T]$$

$$=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{cov}(X_1,X_1)& \mathrm{cov}(X_1,X_2)& \cdots & \mathrm{cov}(X_1,X_n)\\ \mathrm{cov}(X_2,X_1)& \mathrm{cov}(X_2,X_2)& \cdots & \mathrm{cov}(X_2,X_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{cov}(X_n,X_1)& \mathrm{cov}(X_n,X_2)& \cdots & \mathrm{cov}(X_n,X_n)\end{array}\right]$$

$$=\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{E}[(X_1-\mathrm{E}[X_1])(X_1-\mathrm{E}[X_1])]& \mathrm{E}[(X_1-\mathrm{E}[X_1])(X_2-\mathrm{E}[X_2])]& \cdots & \mathrm{E}[(X_1-\mathrm{E}[X_1])(X_n-\mathrm{E}[X_n])]\\ \mathrm{E}[(X_2-\mathrm{E}[X_2])(X_1-\mathrm{E}[X_1])]& \mathrm{E}[(X_2-\mathrm{E}[X_2])(X_2-\mathrm{E}[X_2])]& \cdots & \mathrm{E}[(X_2-\mathrm{E}[X_2])(X_n-\mathrm{E}[X_n])]\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \mathrm{E}[(X_n-\mathrm{E}[X_n])(X_1-\mathrm{E}[X_1])]& \mathrm{E}[(X_n-\mathrm{E}[X_n])(X_2-\mathrm{E}[X_2])]& \cdots & \mathrm{E}[(X_n-\mathrm{E}[X_n])(X_n-\mathrm{E}[X_n])]& \end{array}\right]$$

样本的协方差矩阵

与上面的协方差矩阵相同，只是矩阵内各元素以样本的协方差替换。样本集合为$\{{\mathbf{\text{x}}}_{\cdot j}=[x_{1j},x_{2j},...,x_{nj}{]}^T|1⩽j⩽m\}$，$m$为样本数量，所有样本可以表示成一个$n\times m$的矩阵。我们以$\hat{\mathrm{\Sigma }}$表示样本的协方差矩阵，与$\mathrm{\Sigma }$区分。

$$\hat{\mathrm{\Sigma }}=\left[\begin{array}{cccc}{q}_{11}& q_{12}& \cdots & q_{1n}\\ q_{21}& q_{21}& \cdots & q_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ q_{n1}& q_{n2}& \cdots & q_{nn}\end{array}\right]$$

$$=\frac{1}{m-1}\left[\begin{array}{cccc}\sum _{j=1}^m(x_{1j}-{\overline{x}}_1)(x_{1j}-{\overline{x}}_1)& \sum _{j=1}^m(x_{1j}-{\overline{x}}_1)(x_{2j}-{\overline{x}}_2)& \cdots & \sum _{j=1}^m(x_{1j}-{\overline{x}}_1)(x_{nj}-{\overline{x}}_n)\\ \sum _{j=1}^m(x_{2j}-{\overline{x}}_2)(x_{1j}-{\overline{x}}_1)& \sum _{j=1}^m(x_{2j}-{\overline{x}}_2)(x_{2j}-{\overline{x}}_2)& \cdots & \sum _{j=1}^m(x_{2j}-{\overline{x}}_2)(x_{nj}-{\overline{x}}_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \sum _{j=1}^m(x_{nj}-{\overline{x}}_n)(x_{1j}-{\overline{x}}_1)& \sum _{j=1}^m(x_{nj}-{\overline{x}}_n)(x_{2j}-{\overline{x}}_2)& \cdots & \sum _{j=1}^m(x_{nj}-{\overline{x}}_n)(x_{nj}-{\overline{x}}_n)\end{array}\right]$$

$$=\frac{1}{m-1}\sum _{j=1}^m({\mathbf{\text{x}}}_{\cdot j}-\overline{\mathbf{\text{x}}})({\mathbf{\text{x}}}_{\cdot j}-\overline{\mathbf{\text{x}}}{)}^T$$

公式中$m$为样本数量，$\overline{\mathbf{\text{x}}}$为样本的均值，是一个列向量，${\mathbf{\text{x}}}_{\cdot j}$为第$j$个样本，也是一个列向量。

在写程序计算样本的协方差矩阵时，我们通常用后一种向量形式计算。一个原因是代码更紧凑清晰，另一个原因是计算机对矩阵及向量运算有大量的优化，效率高于在代码中计算每个元素。

需要注意的是，协方差矩阵是计算样本不同维度之间的协方差，而不是对不同样本计算，所以协方差矩阵的大小与维度相同。

很多时候我们只关注不同维度间的线性关系，且要求这种线性关系可以互相比较。所以，在计算协方差矩阵之前，通常会对样本进行归一化，包括两部分：

1. ${\mathbf{\text{y}}}_{\cdot j}={\mathbf{\text{x}}}_{\cdot j}-\overline{\mathbf{\text{x}}}$。即对样本进行平移，使其重心在原点；
2. ${\mathbf{\text{z}}}_{i\cdot }={\mathbf{\text{y}}}_{i\cdot }/{\sigma }_i$。其中${\sigma }_i$是维度$i$的标准差。这样消除了数值大小的影响。

这样，协方差矩阵$\hat{\mathrm{\Sigma }}$可以写成

$$\hat{\mathrm{\Sigma }}=\frac{1}{m-1}\sum _{j=1}^m{\mathbf{\text{z}}}_{\cdot j}{\mathbf{\text{z}}}_{\cdot j}^T$$

该矩阵内的元素具有可比性。