二次函数动点探究题赏析
江苏朱元生
二次函数是初中数学的重要内容之一，而数学探究又是数学教育改革的新亮点，因此二次函数探究题便成了各地中考命题的热点，命题者将二次函数问题巧妙设计成数学探究题用以考查同学们的分析能力、想象能力、探究能力和创新能力。现仅就2008年中考题有关二次函数动点探究题精选两例解析如下,供同学们鉴赏：
例1(2008福建龙岩)如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.
分析(1)过点A作AE∥BC交CD于点E,证△AED为等边三角形,则AD可求△PDQ的边PD及PD边上的高用含的代数式
表示,则△PDQ的面积可表示为的二次函数,根据二次函数的
极值可求得△PDQ面积的最大值;
(3)先假设QM∥DC交BC于点M如图1过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4.
∠AED=∠C=60°.又∵∠D=∠C=60°，∴△AED是等边三角形.∴AD=DE=9－4=5.
（2）如图2,h为PD边上的高,∠D=60°，则PD=,
△PDQ的面积S可表示为：S=PD·h=(9－x)·=(9x－x2)=－(x－)2＋.
由题意，知0≤x≤5.当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=.
（3）如图3假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ.于是9－x=x，x=.此时，点P、Q的位置如图3所示，连QP.∠D=600△PDQ为等边三角形.
过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求.连结MP，∠C=600,则△CPM也是等边三角形.∴∠D=∠3=600.∴MP∥QD,∴四边形PDQM是平行四边形.
又,PDDQ.∴四边形PDQM是菱形.所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=.
08海南如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
B(-2,m)在直线上,可求得的值及
点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，过点E作EH∥x轴，交y轴于H，△DFB≌△DHE,证得D是BE的中点；解（1）∵点B(-2,m)在直线上，∴m=-2×(-2)-1=3.∴B(-2,3)
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.
∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC=.
∵CE=5，∴CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE（SAS），∴BD=DE.即D是BE的中点.
由于PB=PE，∴点P在，
上,
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
解方程组得
∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).
图2
图1
图3
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