二次函数与一元二次方程的讨论
安徽李师
二次函数、一元二次方程这二个“二次式”不仅是初中代数的重要内容，而且有着密切的联系，形成一个完整的知识体系，涉及知识面广，可带动初中数与式，方程与函数的知识联系，运用灵活性大，可强化解题方法、技巧的训练，形成能力．
二次函数是主体，一元二次方程为二次函数函数值为零（零点）情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程又要将其与相应的二次函数相联，通过二次函数图象揭示解（集）的几何特征．即
1.1二次函数的几何特征：
设二次函，则
（1）二次函数的图象：
（2）抛物线张口方向与极值：
张口向上，有极小值，；
张口向下，有极大值，；
（3）对称轴：．
对称轴在原点左侧同号；对称轴在原点右侧异号；对称轴与轴重合．
（4）顶点在轴上方异号；在轴下方同号；在轴上，在直线上．
（5）图象过点，图象过点，
特别地：（为截距）；；．
1.2、二次函数与一元二次方程：
函数，当时，即为一元二次方程，故一元二次方程的解又叫二次函数的零点．令方程的根为，则有：二次函数的零点抛物线与轴的交点方程的根．
（1）交点个数：
有两个交点方程有不等实根；
有一个交点方程有等实根；
无交点方程无实根．
（2）交点位置：
两交点在原点两侧方程有异号根；
两交点在原点同侧方程有同号根；
两交点在原点右侧方程有两正根；
两交点在原点左侧方程有两负根；
两交点在两数之间或之外
方程；
两交点一个在在两数之间
方程；
两交点在数的两侧
方程；
两交点在数的同侧
方程；
（3）两交点间距离．
例1已知二次函数的图象如图所示：
（1）试判断及的符号；
（2）若|OA|＝|OB|，试证明．
分析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即
（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与轴交点个数，立即可得：，．
（2）由方程结论．
例2已知二次函数的图象与轴两交点和对称轴的交点构成一个正三角形的三个顶点，求函数解析式．
分析：求解析式，即求，主要是应用抛物线的顶点、对称轴与轴的交点（即解方程）和三角形的有关知识，即：
由方程，
由抛物线顶点，
由两点间距离公式求出和的距离：
舍去）．
例3为何值时，关于的方程的两根：
（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间．
分析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
例4证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个恒成立．
分析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在轴上方或下方的充要条件即可．
即由恒成立对应抛物线恒在轴下方
；
由恒成立对应抛物线恒在轴上方
．
因此，当为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证．
例5已知关于的方程两根为，试求的极值．
分析：求的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题．即为方程的两根，，又
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