何时获得最大利润李华青
“何时获得最大利润”是以二次函数知识点为依托,以生产、生活为背景,考查建立数学模型的能力.现采撷几浪花奉献给读者.⑴y=(x-)?w=(x-0)(-2x+)=-2x2+0x-100,
∴y与x的关系式为y=-2x2+0x-1⑵y=-2x2+0x-100
=-2(x-)2+
∴当x=时,y最大
⑶当y=时,可得方程-2(x-)2+=
解这个方程得x1=x2=
根据x2=
∴当0元.例2(08山东青岛)某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图1).
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为P元,求P与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;根据题意判断:当x取何值时,P的值最大?最大值是多少?
分析:本题考查二次函数最大利润问题.解题时首先根据函数图象获得信息,求出一次函数关系式,再根据总利润=总销售额-总成本列出二次函数函数表达式,特别注意求函数值最大时一定注意自变量的取值范围.
解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
∵y=kx+b经过(60,400)(70,300),
∴,解得.
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+1000.
(2)P=(-10x+1000)(x-50)+15000x-5000,
自变量的取值范围:50≤x≤70.
∵-=-=75,a<0,
∴函数P=-10x+15000x-5000图象开口向下,对称轴x=75.
∵50≤x≤70,此时y随x的增大而增大,
∴当x=70时,P最大,最大利润为6000元.
小结:求解与二次函数有关的问题时,首先要根据题意构建函数关系式;然后再配方一定要注意:顶点横坐标在自变量的取值范围内时,二次函数在顶点处取得最值;顶点横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据题目条件,具体分析,才能求出符合题意的最值.
图1
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