与二次函数有关的探索性问题
河北欧阳庆红
探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．现以05年中考题为例，予以说明．一、条件探索型
条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件．解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因)．
例1若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝_________．(只要求写出一个)
分析:本题答案不唯一，抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，可知一元二次方程x2－4x＋c=0没有实数根，△=16-4c＜0，即c＞4(c为整数)，所以c为大于4的所有整数，如5、6、7……等．
二、探索结论型
结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果．
例2请选择一组你喜欢的的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是．
分析:本题答案不唯一，只要满足a＜0，且对称轴为x=2即可，如等．
三、存在性探索型
存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．
例3已知抛物线交x轴于A(，0)、B(，0)交y轴的正半轴于C点，且．
?（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）用到的知识点有:二次函数与一元二次方程的关系，根与系数关系，代数式的恒等变形，不等式等知识点，抛物线与x轴交点的横坐标为方程的两个根，由根与系数的关系对已知等式进行变形求得m的两个值，由＜得到m的取值范围，进而确定m的值，得到函数解析式．
(2)分两种情况:当过点C的直线和抛物线相交时，此直线为y轴;当直线与抛物线相切时，设过C点的直线解析式为y=kx+b，两解析式联立得到的方程组只有一组实数解，说明判别式等于0，求得k值，得到直线解析式．
解析:（1）由条件知AO=||=-，OB=||=，OC=3(m+1)．
∵，，
得：．
∵＜，||＞||，∴＜=m-2＜0，∴m=1．
∴函数的解析式为．
（2）存在与抛物线只有一个公共点C的直线．则C点的坐标为（0，6）．
①当直线过C（0，6）且与x轴垂直时，直线与抛物线只有一个公共点，∴直线．
②设过C点的直线为y=kx+b，与抛物线，只有一个公共点C，y=-x+6
即???只有一个实数解．∴，
∵，∴，∴．∴．y=-x+6．
∴符合条件的直线的表达式为y=-x+6或．
|
|
