应用圆柱和圆锥的侧面展开图解题
安徽李庆社
圆柱和圆锥都是旋转体，它们的侧面都是曲面，又都是可展的曲面，即它们都可以展开铺在平面上．
如图1所示，圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是圆柱底面圆的周长；圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面圆的周长．
我们知道，圆柱、圆锥侧面展开图的面积就是它们的侧面积．如果用l表示圆柱或圆锥的母线长，用r表示它们底面的半径，由上面的分析可知：
圆柱侧面积=2πrl，
圆锥侧面积=πrl．
这里应用了矩形与扇形的面积公式．
圆锥侧面展开图扇形的圆心角的θ°，由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即有
所以利用圆柱和圆锥侧面展开图，可以求得它们的侧面积，这是表面积的一部分．显然，圆柱的表面积还应加上两个底面面积，圆锥的表面积则需加上一个底面面积．
圆柱、圆锥的侧面展开图不仅用于表面积的计算．工厂的工人师傅要制造各种圆柱、圆锥的工件时，常常要根据工件的尺寸，通过计算，在材料板上画出下料图，然后再裁下制作．所以，展开图的知识在生产实际中也是很有用的．
[例1]将半径为30厘米的薄铁圆板沿三条半径截成全等的三个扇形，做成三个圆锥筒(无底)．求圆锥筒的高(不计接头)．
解：依题意每个扇形的圆心角为120°，圆锥筒母线长l=30厘米．
设圆锥底面半径为rCm，则有所以
答：圆锥筒的高约为28.3厘米．
圆柱和圆锥都是空间图形．利用它们的侧面展开图，我们可以把这种空间图形的某些问题转化为平面图形得到解决．我们来看下面一个有趣的问题．
[例2]已知圆锥底面直径AB=20，母线SA=30．C为母线SB的中点．今有一小虫沿圆锥侧面从A点爬到C点觅食．问它爬过的最短距离应是多少？
分析：小虫沿圆锥侧面从A点爬到C点，其轨迹是空间的一条曲线，且在一曲面上．问题如何解决呢？依题意我们画出圆锥的侧面展开图，如图3所示．不难看出，母线SB把扇形分成相等的两部分．从A点到C点的线段AC的长度就是所求的最短距离．
把空间问题化归到平面上，巧妙在得到解决。请同学们自己作出解答，看是否能得到正确答案：
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