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同意楼下（也可能是楼上）轩中所说的，只会加减乘除是可以学习微积分的。很多喜欢物理的同学都在大学前自学了微积分，不会这玩意实在看不了喜欢的物理书。 微分是对函数的运算，最简单的函数是y=x，这里x是自变量；y是因变量（因之而变的量）。 那么如何理解函数呢？ 最简单的方法是列表： 第一个点是(0,0)；第二个点是(1,1)；第三个点是(2,2)……可以一直这么罗列下去。 然后我们拿张纸来画图（随手画图，随手打草稿是培养物理思维的好习惯）： 横轴是x轴，与之垂直是y轴；x轴与y轴相交，交点是原点O(0,0)。 x轴，自左向右，是有个方向的。原点的左边是负数，原点的右边是正数。 y轴，自下向上，也是有方向的。原点之上是正数，原点之下是负数。 在这个x-y平面上，任何一个点P都有x的取值和y的取值，点P用(x,y)表示； 经过点P(x,y)，平行于y轴做一条平行线，与x轴交于点A，A的坐标是(x,0)。 经过点P，平行于x轴做一条平行线，与y轴交于点B，B的坐标是(0,y) 现在y=x可表示为下图： 这是一条经过原点的直线，对直线而言，两个点，比如O(0,0)和A(1,1)就可以确定一条直线。 更进一步的例子，是函数: y=2x 模仿以上研究步骤，我们先列表： 然后作图，y=2x也是一条直线，两个点就可以画出这条直线。 比较y=x和y=2x，我们发现y=2x比y=x“陡峭”。 更一般意义下，我们研究：y=kx 这也是一条直线。 假设k>0，我们发现k越大，这个直线就越陡峭，因此我们称k为斜率。 两点可以确定一条直线，我们选原点O(0,0)为其中一点，另一点是如图的A点，假设A点的坐标是(b,a)；经过A点平行于y轴做到x轴的垂线，与x轴交于B，B点的坐标是(b,0)。 现在我们得到了一个直角三角形OBA 假设角AOB=α，α相对的边AB叫“对边”，对边的长度是AB=a，另外一条直角边OB叫“邻边”，邻边的长度是OB=b。 那么斜率k等于什么呢？ 回到函数：y=kx A：(b,a)是y=kx上的一点，因此：a=kb 斜率是：k=a/b 我们单独看三角形AOB 这是一个直角三角形； 角ABO = 90°，假设角AOB=α； 对边AB长度为a，邻边OB长度为b，斜边OA长度为c 对直角三角形AOB，我们可引入一系列三角函数： “正弦函数”是“对边比斜边”：sinα=a/c “余弦函数”是“邻边比斜边”：cosα=b/c “正切函数”就是斜率：tanα=a/b “余切函数”是正切函数的倒数：cotα=b/a 三角函数很有用，它有好多性质。这里暂时先不一一罗列。 我们现在来研究更复杂点的函数，比如 首先列表 然后画图（虽然现在有做图软件，我推荐大家还是用手来画）， 我们发现这不是一条直线，而是一条曲线，在这条曲线上每一点的斜率都不一样。 这里斜率可以理解为在每一点附近曲线的陡峭程度。 我们有没有办法把这个曲线的斜率随x变化的规律表达出来？ 我们想了这么一个办法（如图），
假设A、B是曲线上的两个点，这两个点挨的非常近，但又没有重合。 假设A点的坐标是
B点的坐标是
这里Δ是个很小很小的量，但又不为零。 经过A、B我们引一条直线，这条直线的斜率是k，我们就用这个k值来表示曲线在x时的斜率。 为了看清楚一些，我们把图中的直角三角形ABC放大
斜率的取值是“对边除以邻边”：k=BC/AC 这里AC的长度是Δ，BC的长度是
考虑到Δ很小（趋于0），那么Δ的平方就更小（更快速地趋于0），相比于2xΔ，我们忽略掉Δ的平方，现在：
斜率是：k=2xΔ/Δ=2x 我们现在就求出了曲线在x处的斜率，它是2x，确实是在变化的。 在微积分的语言里，我们记作：k=dy/dx=2x 类似地，我们还可以研究x三次方函数的斜率是多少。
我们可类似地考虑小直角三角形ABC
如图我们需要计算
上式中，考虑到Δ很小很小（趋于0），第二项、第三项相比于第一项是可以忽略不计的。 因此：
写成微分的形式
更一般地，我们可以论证x的n次方的微分是
我们可以设想一个函数f(x)，它可以表示为x的幂次的相加
这类函数的微分，原则上我们也会计算了。 以上讨论，我只使用了加减乘除，刨开数学上的严谨性，我们已经会计算不少微分了。所谓积分是微分的逆运算，假设我们知道函数变化的趋势，我们如何把原来的函数求出来。 比如对x做积分
我们很容易验算对等式右侧的微分就等于等式左侧的被积函数x，这里C是常数，对常数的微分是0（这相当于说与x轴平行的直线的斜率是0）。 以上就是我的微积分入门，适合只会加减乘除的朋友，在此基础上如果大家还要进一步学习微积分，可以找一本高中水平的《微积分初步》看看，我相信你已经能看懂不少了。 |
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来自： 漫步之心情 > 《A教育.求学.思维导图》
