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证券市场是一个异常复杂的系统，波浪、道氏趋势、江恩等传统技术，时而灵光，却常常失效！而缠论很好的揭示了市场的内在本质！ 为什么缠论能够从理论上清晰的解盘呢？下面，从混沌理论和缠论的关系出发，更好的理解缠论。 市场是线性和非线性的市场，当市场是线性的时候，传统技术往往有用；当它是非线性的时候，传统技术就陷入了自相矛盾的境地！ 所说的线性，并不是一个线段，实际上也是一个混沌的特例，混沌的帐篷函数！ 分形是空间的混沌，混沌是时间的分形 证券市场具有典型的混沌特性： 1、非线性； 产生混沌的系统一定含有非线性因素，有了非线性未必产生混沌，但没有非线性是肯定产生不了混沌的。也就是说，非线性是产生混沌的必要条件。 非线性是通过线性来定义的，设G1和G2是任意两个(向量)函数，a和b是任意两个常数，若算子乙满足如下叠加原理: L(aGl+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)， 则称L是线性算子，否则L是非线性算子。包含非线性算子的系统称为非线性系统。 应当注意的是线性与非线性也不是绝对分明的。对于某些复杂现象，在一定条件下，既可以把它视为非线性现象也可以把它视为线性现象，这与人们看问题的角度和所关心的变量的时空尺度不同有关。非线性是普遍存在的，多数问题不能通过线性的办法或线性化的办法来解决，因而直接面对非线性是不可避免的。 2、复杂结构； 在混沌系统中，描述系统演化的动力学方程的确定性，是指方程(常微分方程、差分方程、时滞微分方程)是非随机的，不含任何随机项。 系统的未来(或过去)状态只与初始条件及确定的演化规则有关，即系统的演化完全是由内因决定的，与外在因素无关。
当然，从长远的观点来看，人们肯定会研究带有随机项的更复杂系统的非周期运动。 而混沌内部的有序是指内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，就是自相似性或自彷射性； 分为耗散结构的混沌和保守结构的混沌 耗散结构是能量不守恒有摩擦的结构； 保守结构是能量守恒的无摩擦结构 3、对初始状态具有高度的敏感性； 结果是混沌的，过程却是有序的 动力学系统是反馈系统，系统的内在非线性内质已成为动力学系统的重要特征 初始条件的很小差异，产生出最终现象的极大不同的这种情况是会发生的 很小的误差，导致极大的误差 1963年，洛伦兹发表了关于混沌理论的开创性研究，并提出了形象的“蝴蝶效应”。被冷落了12年之后，1975年数学家吕埃尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制，认为向湍流的转变是由少数自由度决定的，经过两三次突变，运动就到了维数不高的“奇怪吸引子”上。这里所谓“吸引子”是指运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：它可能是稳定的平衡点，或周期性的轨道；但也可能是继续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，这时它就称为“奇怪吸引子”。奇怪吸引子上的运动轨道，对轨道初始位置的细小变化极其敏感，但吸引子的大轮廓却是相当稳定的。 1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。 有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。
当系统进入混沌结构时，其具有即为有限的可预测性，或表现为整体不可预测，或表现为局部不可预测，或表现为长期不可预测而短期预测有一定的准确性 4、非周期性 在数学和物理学中，周期性的定义是很明确的。对于函数f(x)，若能找到一个最小正数t满足关系f(x+t)=f(x)，则称f(x)是周期函数，t为其周期；否则f(x)就是非周期的, 非周期性意味着构成奇怪吸引子的积分曲线从不重复原曲线而封闭。 这样，向着奇怪吸引子演化的系统，从来不以同样的状态重新经过。非周期性说明，混沌运动的每一瞬间都是“不可预见的创新”的发生器。应当注意的是“非周期性”这个概念比“混沌’’要广、要大的多。 比如，准周期是非周期的，但不是混沌；遍历运动是非周期的，但单纯遍历还不是混沌。
混沌运动要求有“混合”的性质，即“对初始条件的敏感依赖性”。但这并不能因此说混沌运动就是杂乱而无用的，相反，混沌不是无序和紊乱。一提到有序，人们往往会想到周期排列或对称形状。 但是，混沌更像是没有周期性的次序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次之间存在着“自相似性”或“彷射性”。在观察手段的分辨率不高时，只能看到某一个层次的结构；提高分辨率之后，在原来不能识别之处又会出现更小尺度上的结构。 5、分叉 分叉(bifurcation)是有序演化理论的基本概念，这是混沌出现的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点上，系统的定态行为(稳定行为)可能发生定性的突然改变，即原来的稳定定态变为不稳定定态，同时出现新的定态，这种现象就是分叉。发生分叉现象的关节点叫做分叉点，在分叉点系统演化发生质的变化。动态系统演化中的分叉现象充分说明了量变引起质变的规律。分叉又是一种阈值行为，只要系统的非线性作用强到一定程度，就可能出现分叉。所以，凡是产生混沌的系统，总可以观察到分叉序列。 马尔萨斯（T．R．Malthas）在其《论人口原理》一书中，在分析了19世纪美洲和欧洲一些地区的人口增长规律后得出结论说：“在不加控制的条件下，人口每25年增加一倍，即按几何级数增长”．不难把这种“马尔萨斯人口论”写成数学形式．为此可把25年作为一代，把第n代的人口记为yn． 马尔萨斯的意思是 yn+1＝2yn （7.20） 这是简单的正比例关系，还可以写得更一般些，即 yn+1=αyn （7.21） 其中α是比例系数．不难验证，差分方程（7.21）的解为 yn=αny0 （7.22）
这项修正就是计入限制虫口增长的负因素．虫口数目太多时，由于争夺有限的食物和生存空间发生咬斗，由于接触传染而导致疾病蔓延，都是使虫口数目减少的事件． 这些事件的数目比例于yn2，于是方程（7.21）可以修正为 yn+1=αyn-βyn2 （7.23） 如果x代表某种昆虫的数目，每个昆虫产α个卵，其总数 由线性关系决定．然而，x个昆虫由于争夺食物而咬斗，咬斗事件的数目可能有
种组合．这就是非线性关系了．相互作用使得整体不再简单地等于部分之和，而可能出现不同于“线性叠加”的增益或亏损． 即正比于yn2。 这个看起来很简单的方程，却可以展现出丰富多采的动力学行为．其实它并不只是一个描述虫口变化的模型．它同时考虑了鼓励和抑制两种因素，反映出“过犹不及”的效应，因而具有更普遍的意义和用途． 可以适当地重新“标度”方程（7.23）的变量，例如取αyn为新的变量，而以β/α作为新的参量，还可进一步取最大虫口数目为1，这样得到一个抽象的、标准的虫口方程 xn+1=μxn（1-xn） （7.24） 现在xn的变化范围是［0，1］线段，而参量μ通常在0到4之间取值． 虫口方程（7.24）是通向混沌动力学主峰的崎岖道路的起点．我们只能踏最初几步，略探其中奥秘．先换几个角度来考察方程（7.24）．它右面的xn从［0，1］线段取值，变换成左面的xn+l，仍然在同一个线段中．这是线段到自身的一个“映射”， 其一般形式为 xn+1=f（μ，xn），xn∈I （7.25） 其中f（μ，x）是依赖于参量μ的一个非线性函数． 方程（7.4）或（7.25）又是一个迭代过程．取初始值x0，计算出x1；再把x1代入右端，求得x2，…，这样得到一条轨道 x0，x1，x2，x3，… （7.26） 这个迭代过程可以用图上作业形象地表示出来，如下图所示． 图中画出了非线性函数f（x）和代表y=x的45°倾斜的分角线．在横轴上取初值x0，垂直向上找到与f（x）的交点就是x1；为了把它作为下一次迭代的自变量，只须水平地找到与分角线的交点． 我们还可以把迭代计数n看作离散的时间，在马尔萨斯的模型中指第n个25年，而在虫口方程中则是第n个夏天．这样，（7.24）或（7．25）就是离散的时间演化方程，而式（7.26）是演化过程的记录． 对于轨道式（7.26）可以提许多问题．例如，它是周期还是非周期的，它是简单还是复杂的，它对于初值x0的细微变化是否敏感，等等．这些问题都可用严格的理论方法来回答，不过我们最好先拿一个小计算器来取得一些感性知识． 先取定参数μ=2.5，用初值x0＝0.5开始迭代，得到如下一串数值： x1=0.625 x2＝0.5859375 … x28=0.599999998 x30＝0.6 … 从x29开始，都得到0.6，不再变化．这条轨道在经过一段过渡过程之后导致一个不动点x*＝0.6．用虫口模型的语言说，在这样一个参量下虫口最终达到不随时间变化的固定值．重要的事实是：换用任何其它初值，结果都达到同一个不动点x*，只是过渡过程可能略有不同．换句话说，最终的状态对初值的变化不敏感；所有的初值都被“吸引”到不动点．或者说，不动点是一个吸引子． 如果把参量改为μ=3.3，还从初值x0＝0.5出发，经过一段过渡后轨道成为两个数的交替： x32＝0.479427020 x33＝0.823603283
x35=0.823603283 …… 我们说，这是一条周期2轨道．这条轨道对初值也不敏感，所有的初值最终都殊途同归，达到这个周期2吸引子．对于虫口模型，这表明如果今年夏天虫子数目多，明年夏天就少，如此交替下去．这是较为符合实际情形的结果． 用这种方法当然只能检查有限个参量点上的动力学行为．为了纵观全局，我们用程序将图画出： 分岔图是全面反映一维映射动力学行为的简便方式．在图中我们看到不动点分岔为周期2，周期2分岔到周期4等等，最终进入了沿xn方向连成一片的混沌区．在混沌区里还可以看到不少周期窗口，其中最明显的是一个周期3窗口，即三个点交替出现的周期轨道． 以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图，得到1、图2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此所谓无穷自相似结构。 分形性是指奇怪吸引子的结构具有自相似性和不可微性。它不是传统欧几里得几何中描述的直线、平面等整形几何形状所具有的可微性，而是分维的“分形”物，具有结构自相似性和不可微性(不连续性)。 目前所发现的奇怪吸引子，如马蹄铁吸引子、洛伦兹吸引子、埃农(Michel Henon)吸引子、若斯勒(Otto ROssler)吸引子等都具有分形性。 所以分形并非纯数学抽象的产物，而是对普遍存在的复杂几何形态的科学概括。自然界中分形体无处不在，如起伏蜿蜒的山脉、凹凸不平的地面、曲曲折折的海岸线等等。它与混沌的内随机性、对初始条件的敏感依赖性有本质联系。 所以我们说：
“混沌本质上是非线性动力系统在一定控制参数范围内产生的对初始条件具有极度敏感依赖性的回复性的非周期性行为状态”。 分形(fractal)－混沌世界的秩序
混沌区具有无穷嵌套的自相似结构
在混沌区内，从大到小，一层一层类似洋葱头或套箱，具有自相似结构。这些自相似结构无穷无尽的互相套叠，从而形成了“无穷嵌套的自相似结构”。我们任取其中一小单元，放大来看都和原来混沌区一样，具有和整体相似的结构，包含整个系统的“信息”。由此可见，混沌现象既具有紊乱性，又具有规律性。 结构的精细性,即具有任意小的比例细节; 局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这种自相似性可以是严格的,近似的或统计的); 维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓扑维数; 生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用迭代方法生成.
混沌区具有分数维数 奇异吸引子往往具有分数维数。系统到达混沌区后，被限制在奇异吸引子内。在吸引子中，可以到处游荡，各态历经，但其轨道又不能充满整个区域，它们彼此间有无穷多的空隙。 分形：无法单纯用整数维度来描述 8、相空间的奇异吸引因子 非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子” 任何物理理论，在一定意义上都是研究物质在时空中运动的规律。一个物质系统的运动将向何处？它有没有一定的归宿？是返回原状态，还是会达到某种新的稳定状态？这是人们感兴趣的课题 当演化时间t趋向于无穷大时，系统所达到的极限集合称为“吸引子”。
但与平凡吸引子相比，它又有一些奇特的性质。系统在吸引子外的所有状态都向吸引子靠拢，这是吸引作用，反映系统运动“稳定”的一面；而一旦到达吸引子内，其运动又是互相排斥的，这对应着不稳定的一面。也可以说在整体上是稳定的，而在局部上是不稳定的。在混沌区内，两个靠的很近的点，随着时间的推移会指数发散开来；两个相距很远的点，有可能无限的接近；它们将在混沌区中自由的游荡，又不跳出混沌区去，因此无法描写它们的“轨迹”，无法预测其未来的状态。1971年，法国物理学家茹勒和泰肯首次把混沌的这种性质叫奇异吸引子或奇怪吸引子。
混沌是时间上的分形 ，分形是空间上的混沌 |
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