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“玲瓏開方式”及焦循之《開方通
釋》淺說
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：本文主要談及焦循之《開方通釋》中解高次方程式之法。其法主要
為現代數學之分解因式法，本文並介紹書中之列式。
關鍵詞：開方通釋、七椉方圖、實、積、廉、隅、玲瓏開方式
第1節焦循略傳
焦循（公元1763年－1820年），生於乾隆二十八年（公元1763年），病
歿於嘉慶二十五年（公元1820年），享年57。字理堂（一字里堂），江蘇揚州
黄珏鎮人。幼年好《易》，乃易學名家。少年曾就讀於揚州安定書院。乾隆四十
四年己亥（公元1779年），受業於劉墉，習經史、曆算、訓詁諸學。乾隆五十
二年丁未（公元1787年），友人顧鳳毛贈以《梅氏叢書》，遂深治天文、曆算
諸學。嘉慶六年（公元1801年）中舉人，翌年應禮部試，不第，即託足疾不仕。
嘉慶十一年（公元1806年）揚州知州伊秉綬聘其與阮元等編《揚州圖經》及《揚
州文粹》，頗具名聲，當時與阮元齊名。焦循並自構“雕菰樓”，在其中讀書及
著述。
焦循《易》著方面著有《易章句》十二卷、《易圖略》八卷，《易通釋》二
十卷（以上四十卷合輯爲《雕菰樓易學三書》）、《易廣記》三卷、《易話》二
卷。
除經學與《易》著外，焦循亦多算學之著述，如《天元一釋》二卷、《開方
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通釋》一卷、《釋弧》三卷、《釋輪》二卷、《釋橢》一卷。焦循與元和李銳、
歙縣汪萊齊名，李與汪皆為清代算學名家。《開方通釋》有汪萊之叙，此叙寫於
嘉慶六年﹝1801年﹞九月：
至於帶縱之方，有舉多少而分正負者，則不外乎同名相加，異名相減。二術
而自宋?秦道古﹝九韶﹞、元?李欒城﹝冶﹞，而後至今罕有能綜其條理者。
吾友元和李尚之﹝銳﹞、江都焦里堂﹝循﹞，各立天元一術，於古開方法皆
有所發明。
於此可見三人友誼之深厚。
焦循其他著述尚有《雛菰樓集》二十四卷、《北湖小志》六卷、《揚州足徵
錄》二十七卷，分見其《焦氏遺書》。本文即取材自《開方通釋》。
第2節高次方程式與“玲瓏開方式”解法
注意以下之〈古法七椉方圖〉：
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“椉”，古同“乘”。“實”與“積”近義，指常數；“隅”指x之最高次
方。“方法”簡稱為“方”，指x之係數。除“積”、“方”及“隅”其餘皆
稱為“廉”，“上廉”指x2之係數，“二廉”指x3之係數。“三椉”指x4，
“四椉”指x5，“五椉”指x6，“六椉”指x7，“七椉”指x8；“三廉”
指x4之係數，“四廉”指x5之係數，“五廉”指x6之係數，“六廉”指x7
之係數，“七廉”指x8之係數。若，x8為最高次冪，習慣上不稱為“七廉”，
而稱為“隅”。
以下為兩項定理之係數表﹝即上圖之古法七椉方圖﹞：
1
積
11
實方
121
積方隅
1331
積方廉隅
14641
積方上廉二廉隅
15101051
積方上廉二廉三廉隅
1615201561
積方上廉二廉三廉四廉隅
172135352171
積方上廉二廉三廉四廉五廉隅
18285670562881
積方上廉二廉三廉四廉五廉六廉隅
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隅之前一廉又稱為下廉。以下為《開方通釋》其中一題：
假如積五百十二，隅二，開三乘方，得幾何？答曰：得四。
解：
此題相當於解方程式2x4–512=0。“三乘方”乃指x冪為4，“開三乘
方”乃指求x。注意本題之512為負數。
x4x3x2xx0
2000–512
隅下廉上廉方積
分解因式得：
(x–4)(2x3+8x2+32x+128)=0，
於是x–4=0，即x=4。
2x4–512=0本可約簡為x4–256=0，但《開方通釋》不作此解。
古法先求512之二因子積﹝兩數之相乘﹞，因√512=22.6，故可取512之
1至22間之因子。1不取，故可試2、4、8與16四因子，此四數皆為512
之因子。至於大於22之因子可不必試，理由可參閱筆者另文〈《御製數理精蘊
表》之“質數表”及“最少差兩因數積”說〉。
512在題中可稱為“積”或“實”。
從2開始，512÷2=256﹝為常數﹞
256÷2=128﹝為x係數﹞
128÷2=64﹝為x2係數﹞
64÷2=32﹝為x3係數﹞
此x3係數應等於原式x4之係數，即“隅”。但“隅”為2，故因子2不
合。
試8，512÷8=64﹝為常數﹞
64÷8=8﹝為x係數﹞
8÷8=1﹝為x2係數﹞
1÷8=0.125﹝為x3係數﹞
此x3係數為0.125非2，故因子8不合。顯然16亦不合。
試4，512÷4=128﹝為常數﹞
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128÷4=32﹝為x係數﹞
32÷4=8﹝為x2係數﹞
8÷4=2﹝為x3係數﹞
此x3係數等於原式x4之係數，即2，故因子4合。4稱為商，故原式之
解為4。
以下為長除式：
_____2x3+8x2+32x+128
x–4│2x4–512
2x4–8x3
8x3
8x3–32x2
32x2
32x2–128x______
128x–512
128x–512
========
以下為《開方通釋》之算式：
上圖乃《開方通釋》之列式法。假設2、8及16皆不合，今以4試之。
上圖右式從下至上乃表示2x4+0x3+0x2+0x–512，2標示為隅，512為
實，將商即x=4置於上方。512之籌算表示法應有一斜線，表示為負數。
上圖左式從上至下運算，將實512重寫一次，除以4後得128，寫於512
之下方，128除以4後得32，寫於128之下方，32除以4後得8，寫於32
之下方，8除以4後得2，寫於8之下方，2必須與右式下方之2相同，若
不相同，則表示算式錯誤，即所用之商不合。
上圖左式512之實不算在內，表示2x3+8x2+32x+128，可參閱長除式。
《開方通釋》有所謂“玲瓏開方式”即指一多項式從隅開始相間之係數為
0。以下為“玲瓏開方式”圖：
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假如積四千二百八十八，方空，上廉三，下廉空，隅一，開三乘方，得幾何？
答曰：得八。
解：
方空，指x係數為0，上廉三指x2之係數為3，下廉空，即隅之前一廉
x3之係數為0，隅之x4之係數為1，此式為“玲瓏開方式”。
x4x3x2xx0
2030–4288
隅下廉上廉方積
此題即解x4+3x2–4288=0，積為負數。
依上題之法先分解4288為兩數之積。因為√4288=65.4，故可取4288之
1至65間之因子。即可試2、4、8、16、32、64諸數。
從2開始，4288÷2=2144﹝為常數﹞
2144÷2=1072﹝為x係數﹞
(1072–3)÷8=1069÷8=133.625﹝為x2係數﹞
133.625÷2=66.8125﹝為x3係數﹞
此x3係數不等於原式x4之係數，因“隅”為1，故因子2不合。
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試4，4288÷4=1072﹝為常數﹞
1072÷4=268﹝為x係數﹞
(268–3)÷8=265÷8=33.125﹝為x2係數﹞
33.125÷8=4.140625﹝為x3係數﹞
此x3之係數不等於原式x4之係數，故因子4不合。
試8，4288÷8=536﹝為常數﹞
536÷8=67﹝為x係數﹞
(67–3)÷8=8﹝為x2係數﹞
8÷8=1﹝為x3係數﹞
此x3係數等於原式x4之係數，即1，故因子8合。
故原式解為8。
以下為長除式：
_____2x3+8x2+67x+536
x–8│x4+3x2–4288
x4–8x3
8x3–3x2
8x3–64x2
67x2
67x2–536x______
536x–4288
536x–4288
=========
上圖乃《開方通釋》之列式法。假設2、4皆不合，今以8試之。
上圖右式從下至上乃x4+0x3+3x2+0x–4288之表示法，1標示為隅，4288
為實，將商即x=8置於上方。上圖左式從上至下運算，將實4288重寫一次，
除以8後得536，寫於4288之下方，536除以8後得67，寫於536之下方，
67–3除以8後得8，寫於67之下方，8除以8後得1，寫於8之下方，1
-8-
與右式下方之1相同，即所用之商合。
上圖左式4288之實不算在內，表示2x3+8x2+67x+536，可參閱長除式。
本題之現代解法：
x4+3x2–4288=0，分解因式得：
(x2–64)(x2+67)=0
故x2–64=0，x=±8；
x2+67=0，x=±√67i；共四根。
以下為另一題：
假如積一十八萬一千四百三十一，方空，第一廉八，第二廉空，第三廉三十
四，第四廉空，第五廉二十，第六廉空，隅二十五，開七乘方，得幾何？答
曰：得三。
解：
方空，指x係數為0，第一廉八指x2之係數為8，第二廉空，即x3係
數為0，第三廉三十指x4之係數為34，第四廉空，即x5係數為0，第五廉
20指x6之係數為20，第六廉空，即x7係數為0，隅x8之係數為25，此
式亦為“玲瓏開方式”。
x8x7x6x5x4x3x2x1x0
25020034080–181431
隅下廉﹝下廉﹞五廉四廉三廉二廉上廉﹝一廉﹞方積
以下為該方程式：
25x8+20x6+34x4+8x2–181431=0。
依上題之法先分解181431為兩數之積，其因子為3、9、19、171、1061、…。
因為√181431=425，故只須取181431之1至425間之因子，即可試3、9、
19、171四數。
從3開始，181431÷3=60477﹝為常數﹞
60477÷3=20159﹝為x係數﹞
(20159–8)÷3=20151÷3=67175﹝為x2係數﹞
67157÷3=2239﹝為x3係數﹞
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(2239–34)÷3=2205÷3=735﹝為x4係數﹞
735÷3=245﹝為x5係數﹞
(245–20)÷3=225÷3=75﹝為x6係數﹞
75÷3=25﹝為x7係數﹞
此x7係數等於原式x8之係數，即25，故因子3合。
故原式解為3。
以下為長除式：
__25x7+75x6+245x5+735x4+2239x3+6717x2+20159x+60477
x–3│25x8+20x6+34x4+8x2–181431
25x8–75x7
75x7+20x6
75x7–225x6
245x6
245x6–735x5
735x5+34x4
735x5–2205x4
2239x4
2239x4–6717x3
6717x3+8x2
6717x3–20151x2
20159x2
20159x2–60477x
60477x–181431
60477x–181431
=============
下圖乃《開方通釋》之列式法，以3為商：
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上圖式從下至上乃25x8+20x6+34x4+8x2–181431之表示法，25標示為
隅，181431為實，將商即x=3置於實之上方。
上圖從上至下運算，將實181431重寫一次，除以3後得60477，寫於
181431之下方，60477除以3後得20159，寫於60477之下方，20159–8除
以3後得6717，寫於20159之下方，6717除以3後得2239，寫於6717之
下方，2239–34除以3後得735，寫於2239之下方，735除以3後得245，
寫於735之下方，245–20除以3後得75，寫於245之下方，75除以3後
得25，與隅相同，即所用之商合。以上結果可參閱長除式。
以下為本題原圖及“玲瓏開方式”定義：
《開方通釋》所涉及之解皆為整數，故可用“嘗試錯誤法”﹝tryanderror
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method﹞而求其解。注意《開方通釋》所用之法乃從“積”或“實”算起，與現
代數學之長除法剛好相反。另一方面，本文所提及之“積”或“實”皆為負數，
其他冪次之x係數皆為正數，但《開方通釋》中並非所有高次方程式皆如此。
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