功能关系的辨析与拓展
四川大学附属中学冯源
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例1如图所示，水平向右的匀强电场中，某倾角为θ=的绝缘斜面固定于水平面上，顶端静置一质量为m=2kg的物块，带正电，电量为q=C。若物块与斜面间的动摩擦因数为μ=0。2，电场强度为E=，且物块能自由下滑到斜面底端。斜面高度为h=1m，g=10。试问，此过程中：
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⑴物块动能的改变量；
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⑵重力势能的改变量；
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⑶电势能的改变量；
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⑷物块与斜面摩擦产生的内能为多少；
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⑸物块机械能的改变量。
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解：⑴由动能定理可知，物块的动能改变量
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。
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⑵研究重力势能的改变，只看重力做功，不管其他力的存在与否，独立处理。
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由公式可知，，做正功，即重力势能减少了20J。
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⑶研究电势能的改变时，只看电场力做功。此过程中，电场力做功为
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，负功，电势能增加6．67J。
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⑷摩擦产生的内能与一对滑动摩擦力做功之和相对应。即
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⑸物块机械能的改变量，应等于除了重力之外的其他力做功之和，实为机械能守恒定律的推论。即
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，机械能减少13J。
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常见的功能关系可以简单总结，如下表所示。具体使用时，要注意初末能量的相减顺序不尽相同，对应能量的增减关系也有所区分。
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各力做功 功的正负与能量增减的对应关系 功能关系表达式 合外力做功 重力做功 弹簧弹力做功 分子力做功 电场力做功 一对滑动摩擦力做功之和 除重力以外的其他外力做功 安培力做功 ?
值得一提的是最后一项，一般只针对动生起电，而不适用于感生起电。比如，某一形状固定的矩形闭合线框，其内有匀强磁场穿过。若线框不动，当磁感应强度发生变化时，也会有电能生成，但并没有克服安培力做功的现象发生。下面这个例子，也是克服安培力做功与电能转化不相等的情况。
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例题2如图所示，足够长的光滑导轨水平放置，两导轨相距为d，左端MN用阻值不计的导线相连，金属棒ab可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为，金属棒ab的电阻不计。整个装置处于竖直向下的均匀磁场中，磁场的磁感应强度随时间均匀增加，B=kt，其中k为常数。金属棒ab在水平外力F的作用下，以速度v沿导轨向右做匀速运动，t=0时金属棒ab与MN相距非常近。
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⑴当时，水平外力F为多大？
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⑵求当时，闭合回路的电功率。
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⑶该过程中共有多少电能生成？
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解：⑴当时，回路中电磁感应产生的感应电动势为：
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。
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其中，且。
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此时回路的总电阻，所以。
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故。
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⑵此问容易产生错解，即认为当时，金属棒做匀速运动，此时安培力的大小等于外力F，故回路的电功率。并且，该错误结论还会影响到第⑶问的求解。其实，变化的磁场也能产生电能，所以回路的电功率不能只考虑克服安培力做功的功率。
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正解：从⑴问中的结论可知，当时：，且。
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则回路的电功率。
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⑶由第⑵问结论可知，该过程产生的电能为：。
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另外，功能关系还可以应用到多物系统中。这里仅以常见的动能定理为例，对由多个质点组成的质点系统来说，质点系受到的所有外力，对其质心所做功的代数和，对应质心动能的增量。这种功往往只是一种等效功，有时也被叫做赝功。现举例如下：
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例题3如图所示，倾角为θ的斜面上静止放置3个质量均为m的木箱，相邻两木箱的距离均为L。工人用沿斜面的力推最下面的木箱使之上滑，逐一与其他木箱碰撞。每次碰撞后木箱都粘在一起运动。整个过程中工人的推力不变，最后恰好能推着3个木箱匀速上滑。已知木箱与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，设碰撞时间极短，求3个木箱匀速运动的速度。
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分析：此题可应用动能定理和动量守恒，分步求解，但过程较多。若是考虑对质点系应用动能定理，即可避开其间的碰撞过程，省去动量守恒，单从功能关系得解。
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解：以题中3个木箱组成的系统为研究对象，讨论从最下面的木箱刚开始运动直至3个木箱刚开始向上匀速运动的过程。由于末状态为匀速，可得工人的推力
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??①
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由于此过程中质心的总位移为L，故恒力F对系统质心做的赝功为：
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?②
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重力对系统质心做的赝功为：
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??③
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同时，系统还受到滑动摩擦力，由于其大小发生改变，则分为前后两段来计算：
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前半段，即发生第一次碰撞前，系统受到的滑动摩擦力大小为：，质心位移为：；
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对后半段，系统受到的滑动摩擦力大小为：，质心位移为：；
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即得：???④
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此外，因为研究对象是质心，则上述过程中，还要考虑静摩擦力做的赝功。也分成两段计算：
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??⑤
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由动能定理可知，系统所受外力的赝功和等于系统质心的动能增量，也即：
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??⑥
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将①②③④⑤式代入⑥式，解得：
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2011-03-11??人教网
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