MATLAB符号表达式运算

 一旦创建了一个符号表达式，或许想以某些方式改变它；也许希望提取表达式的一部分，合并两个表达式或求得表达的数值。有许多符号工具可以帮助完成这些任务。

　　所有符号函数(很少特殊例外的情况，讨论于后)作用到符号表达式和符号数组，并返回符号表达式或数组。其结果有时可能看起来象一个数字，但事实上它是一个内部用字符串表示的一个符号表达式。正如我们前面所讨论的，可以运用MATLAB函数isstr来找出像似数字的表达式是否真是一个整数或是一个字符串。

　　提取分子和分母

　　如果表达式是一个有理分式(两个多项式之比)，或是可以展开为有理分式(包括哪些分母为1的分式)，可利用numden来提取分子或分母。例如，给定如下的表达式：

　　在必要时，numden将表达式合并、有理化并返回所得的分子和分母。进行这项运算的MATLAB语句是：

　　>> m= ' x^2 ' % create a simple expression

　　m=

　　x^2

　　>> [n，d]=numden(m) % extract the numerator and denominator

　　n=

　　x^2

　　d=

　　1

　　>> f= ' a*x^2/(b-x) ' % create a rational expression

　　f=

　　a*x^2/(b-x)

　　>> [n，d]=numden(f) % extract the numerator and denominator

　　n=

　　a*x^2

　　d=

　　b-x

　　前二个表达式得到期望结果。

　　>> g= ' 3/2*x^2+2/3*x-3/5 ' % rationalize and extract the parts

　　g=

　　3/2*x^2+2/3*x-3/5

　　>> [n，d]=numden(g)

　　n=

　　45*x^2+20*x-18

　　d=

　　30

　　>> h= ' (x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1) ' % the sum of rational polynomials

　　h=

　　(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1)

　　>> [n，d]=numden(h) % rationalize and extract

　　n=

　　x^3+5*x^2-3

　　d=

　　(2*x-1)*(x-1)

　　在提取各部分之前，这二个表达式g和h被有理化，并变换成具有分子和分母的一个简单表达式。

　　>> k="sym"( ' [3/2，(2*x+1)/3;4/x^2，3*x+4] ' ) % try a symbolic array

　　k=

　　[ 3/2，(2*x+1)/3]

　　[4/x^2， 3*x+4]

　　>> [n，d]=numden(k)

　　n=

　　[3， 2*x+1]

　　[4， 3*x+4]

　　d=

　　[ 2，3]

　　[x^2，1]

　　这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母数组。如果采用s=numden(f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。

　　标准代数运算

　　很多标准的代数运算可以在符号表达式上执行，函数symadd、symsub、symlnul和symdiv为加、减、乘、除两个表达式，sympow将一个表达式上升为另一个表达式的幂次。例如： 给定两个函数

　　>> f= ' 2*x^2+3*x-5 ' % define the symbolic expression

　　f=

　　2*x^2+3*x-5

　　>> g= ' x^2-x+7 '

　　g=

　　x^2-x+7

　　>> symadd(f，g) % find an expression for f+g

　　ans=

　　3*x^2+2*x+2

　　>> symsub(f，g) % find an expression for f-g

　　ans=

　　x^2+4*x-12

　　>> symmul(f，g) % find an expression for f*g

　　ans=

　　(2*x^2+3*x-5)*(x^2-x+7)

　　>> symdiv(f，g) % find an expression for f/g

　　ans=

　　(2*x^2+3*x-5)/(x^2-x+7)

　　>> sympow(f， ' 3*x ' ) % find an expression for ans=

　　(2*x^2+3*x-5)^3**

　　另一个通用函数可让用户用其它的符号变量、表达式和算子创建新的表达式。symop取由逗号隔开的、多至16个参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子(' + '、' - '、'*'、' / '、' ^ '、' ( '或' ) ')，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式.

　　>> f= ' cos(x) ' % create an expression

　　f=

　　cos(x)

　　>> g= ' sin(2*x) ' % create another expression

　　g=

　　sin(2*x)

　　>> symop(f，'/ '，g，'+'，3) % combine them

　　ans=

　　cos(x)/sin(2*x)+3

　　所有这些运算也同样用数组参量进行。

　　高级运算

　　MATLAB具有对符号表达式执行更高级运算的功能。函数compose把f(x)和g(x)复合成f(g(x))。函数finverse求表达式的函数逆，而函数symsum求表达式的符号和。

　　给定表达式

　　>> f= ' 1/(1+x^2) ' ; % create the four expression

　　>> g= ' sin(x) ' ;

　　>> h= ' 1/(1+u^2) ' ;

　　>> k=' sin(v) ' ;

　　>> compose(f，g) % find an expression for f(g(x))

　　ans=

　　1/(1+sin(x)^2)

　　>> compose(g，f) % find an expression for g(f(x))

　　ans=

　　sin(1/(1+x^2))

　　compose也可用于含有不同独立变量的函数表达式。

　　>> compose(h，k，'u'，'v') % given h(u)，k(v)，find(k(v))

　　ans=

　　1/(1+sin(v)^2)

　　表达式譬如f(x)的函数逆g(x)，满足g(f(x))=x。例如， 的函数逆是ln(x)，因为ln( )=x。sin(x)的函数逆是arcsin(x)，函数 的函数逆是arcsin 。函数fincerse返回表达式的函数逆。如果解不是唯一就给出警告。

　　>> finverse( ' 1/x) % the inverse of 1/x is 1/x since ' 1/(1/x)=x '

　　ans=

　　1/x

　　>> finverse( ' x^2 ' ) % g(x^2)=x has more than one solution

　　Warning： finverse(x^2) is not unique

　　ans=

　　x^(1/2)

　　>> finverse( ' a*x+b ' ) % find the solution to ' g(f(x))=x '

　　ans=

　　-(b-x)/a

　　>> finverse( ' a*b+c*d-a*z ' )， ' a ' ) % find the solution to ' g(f(a))=a '

　　ans=

　　-(c*d-a)/(b-z)

　　symsun函数求表达式的符号和有四种形式：symsun(f)返回 ;symsum(f， ' s ' )返回 ，symsun(f，a，b)返回 ;最普通的形式symsun(f， ' s ' ，a，b)返回 。

　　让我们试一试 ，它应返回： 。

　　>> symsum('x^2')

　　ans=

　　1/3*x^3-1/2* x^2+1/6*x

　　又怎么样呢?它应返回 。

　　>> sym('(2*n-1)^2'，1，'n')

　　ans=

　　11/3*n+8/3-4*(n+1)^2+4/3*(n+1)^3

　　>> factor(ans) % change the form ( we will revisit 'factor' later on)

　　ans=

　　1/3*n*(2*n-1)*(2*n+1)

　　最后让我们试一试 ，其返回应是 。

　　>> symsum( ' 1/(2*n-1)^2 ' ，1，inf)

　　ans=

　　1/8*pi^2

　　变换函数

　　本节提出许多工具，将符号表达式变换成数值或反之。有极少数的符号函数可返回数值。然而请注意，某些符号函数能自动地将一个数字变换成它的符号表达式，如果该数字是函数许多参量中的一个。

　　函数sym可获取一个数字参量并将其转换为符号表达式。函数numneric的功能正好相反，它把一个符号常数(无变量符号表达式)变换为一个数值。

　　>> phi=' (1+sqrt(5))/2 ' % the ' golden ' ratio

　　phi=

　　(1+sqrt(5))/2 % convert to a numeric value

　　>> numeric(phi)

　　ans=

　　1.6180

　　正如第六章所介绍，函数eval将字符串传给MATLAB以便计算。所以eval是另一个可用于把符号常数变换为数字或计算表达式的函数。

　　>> eval(phi) % execute the string ' (1+sqrt(5))/2

　　ans=

　　1.6180

　　正如所期望那样，numeric和eval返回相同数值。

　　符号函数sym2poly将符号多项式变换成它的MATLAB等价系数向量。函数poly2syrn功能正好相反，并让用户指定用于所得结果表达式中的变量。

　　>> f=' 2*x^2+x^3-3*x+5 ' % f is the symbolic polynomials

　　f=

　　2*x^2+x^3-3*x+5

　　>> n=sym2poly(sym(f)) % extract eht numeric coefficient vector

　　n=

　　1 2 -3 5

　　>> poly2sym(n) % recreate the polynomials in x (the default)

　　ans=

　　2*x^2+x^3-3*x+5

　　>> poly2sym(n，' s ') % recreate the polynomials in s

　　ans=

　　s^3+2*s^2-3*s+5

　　变量替换

　　假设有一个以x为变量的符号表达式，并希望将变量转换为y。MATLAB提供一个工具称作subs，以便在符号表达式中进行变量替换。其格式为subs(f,old,new)，其中f是符号表达式，new和old是字符、字符串或其它符号表达式。‘新’字符串将代替表达式f中各个‘旧’字符串。以下有几个例子：

　　>> f= ' a*x^2+b*x+c ' % create a function f(x)

　　f=

　　a*x^2+b*x+c

　　>> subs(f，' s '，' x ') % substitute ' s ' for ' x ' in the expression f

　　ans=

　　a*s^2+b*s+c

　　>> subs(f，' alpha '，' a ') % substitute ' alpha ' for ' a ' in f

　　ans=

　　alpha*x^2+b*x+c

　　>> g=' 3*x^2+5*x-4 ' % create another function

　　g=

　　3*x^2+5*x-4

　　>> h="subs"(g，' x '，' 2 ') % substitute ' 2 ' for ' x ' in g

　　h=

　　18

　　>> isstr(h) % show that the result is a symbolic expression

　　ans=

　　0

　　最后一个例子表明subs如何进行替换，并力图简化表达式。因为替换结果是一个符号常数，MATLLAB可以将其简化为一个符号值。注意，因为subs是一个符号函数，所以它返回一个符号表达式。尽管看似数字，实质上是一个符号常数。为了得到数字，我们需要使用函数numeric或eval来转换字符串。

　　>> numeric(h) % convert a symbolic expression to a number

　　ans=

　　18

　　>> isstr(ans) % show that the result is a numeric value

　　ans=

　　0