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高中数学:求轨迹的方法问题越来越重要,你总结过吗

2017-09-21  湖南衡阳...

(本文节选自红宝书,文中未显示部分为数学算式内容)圆锥曲线中轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一,也是近几年来高考中的常见题型之一。考生解这类问题时,往往不能揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系,动辄就是罗列一大堆的运算关系,进行无目的大运动量运算,致使不少学生丧失信心,半途而废。下述是求轨迹常用的方法,以解决此问题。

一是相关点法(也称动点转移法);

特征是求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动的,主动点就是在某条曲线之上,另一个是被动的(也称次动点),被动点就是待求的轨迹点。

当题目中的条件同时具有以下三个特征时,一般可以用动点转移法求其轨迹方程:

(1)主动点在已知方程的曲线上移动(有时方程并不给出,需要自己求出);

(2)另一个动点(被动点即轨迹点)随的变化而变化;

(3)在变化过程中和满足一定的规律,主要是要寻找他们之间的坐标关系。

我们将通过习题进一步讲解这种重要的方法。

二是点差法;

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然后相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程。

三是定义法;

定义法的技巧性非常强,一般不需要大量复杂运算,主要是根据圆、椭圆、双曲线和抛物线的基本定义,建立起定值和定点的关系,要多加分析,寻找到这样的关系。

当然,求轨迹肯定还有其他方法,在本专项中也有所体现,接下来通过习题解决。

四是基础问题使用的“直接法”,也称直译法。直接法的主要意思就是指“将题中所叙述的数学关系翻译成数学等式,即题怎么说,我们怎么做,把题中所说的条件整合成等式关系或不等式关系就可以了”。

其他的求轨迹的方法有:

待定系数法:若已知动点P的运动规律符合已知的某种曲线的定义,则可先设出方程,再根据已知条件

确定方程中等待确定的系数;

参数法:寻找使动点P运动形成轨迹的几何变量t,动点P的横纵坐标都用t进行表示,然后想方设法消

掉参数t,建立起横坐标和纵坐标之间的等式关系;

交轨法:此方法一般是通过两条动曲线联立,解方程组,求出交点坐标,再消参变量得到所求方程

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