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准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。 是高次不等式的简单解法 当高次 不等式f（x）>0（或<0）的左边 整式、 分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个 一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个 区间，最右端的区间f（x）、 φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种 解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“ 穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的 系数为正数） 例如：将x³-2x²-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将 不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察 不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。 在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。（如下图所示） 就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x²)或(x⁴)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当 不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)³的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)²） 运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误： 1． 出现形如（a－x）的 一次因式时，匆忙地“穿针引线”。 例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。 解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<2或x>3}。 <2或x> 事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是： 解 原 不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x|－1<x<0或2<x<3}。 2． 出现 重根时，机械地“穿针引线” 例2 解不等式（x+1）（x－1）²（x－4）³<0 解 将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得， 原不等式的解集为{x|x<－1或1<x<4}。（如图二） 这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下： 解 将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集 {x|－1<x<4且x≠1}（如图三） 3． 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线” 例3 解不等式x（x+1）（x－2）（x³－1）>0 解 原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x²+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解 原不等式等价于 x（x+1）（x－2）（x－1）（x²+x+1）>0， ∵ x^2+x+1>0对一切x 恒成立， ∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或0<x<1或x>2} |
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