【原】【八上数学】《线段、角的轴对称性》必会书写格式！

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最近，我们学习了《线段，角的轴对称性》，同学们对其书写格式还是十分陌生，或者在书写时，习惯性用全等的思路．诚然，这样的做法可以保证不错，但是有时候会显得非常繁琐．而我们一旦学会灵活运用中垂线和角平分线的性质和判定定理，许多问题就能事半功倍！

一、定理复习

如图，已知Rt△OAC与Rt△OBC关于OC成轴对称，连接AB，AB与OC交于点P．

1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

书写格式1：

∵OP⊥AB，AP＝PB，

∴AO＝BO．

书写格式2：

∵点O在线段AB的中垂线上，

∴AO＝BO．

2、中垂线的判定定理：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．

∵AC＝BC，

∴点C在线段AB的中垂线上．

3、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．

书写格式1：

∵CO平分∠AOB，

CA⊥OA，CB⊥OB，

∴CA＝CB．

书写格式2：

∵OC平分∠ACB，

  OA⊥CA，OB⊥CB，

∴OA＝OB．

4、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

∵点C在∠AOB内，

  CA⊥OA， CB⊥OB，

  CA＝CB，

∴CO平分∠AOB．

5、垂直平分的证明格式：

∵OA＝OB，

∴点O在线段AB的中垂线上，

∵CA＝CB，

∴点C在线段AB的中垂线上，

∴OC垂直平分AB．

二、典例分析

例1： 如图，△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC长等于______cm． 分析： 本题不难，要求AC的长，想到AC＝AE＋EC，根据中垂线的性质定理，可以把AE转化为BE，则三角形的第三边可求． 解答：

例2： 如图，在△ABC中，AB，AC的中垂线l1，l2相交于点O，求证：点O在BC的中垂线上． 分析： 这里先给出了2条中垂线，那么我们就用它的性质定理，连接OA，OB，OC，证明它们相等．而最后要证点O在中垂线上，用一次判定定理即可． 解答：

例3： 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是________． 分析： 本题中，要求整个不规则四边形的面积，直接求很困难，而BD作为角平分线，正好将四边形分成两个三角形，则AB，BC作为底，DC作为其中一条高，想到构造AB边上的高． 解答：

例4： 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， (1)点O与△ABC的三边之间有何关系？ (2)作出∠A的角平分线，你发现了什么？ 分析： 第(1)问问的是点与线段的关系，则想到点到线段的距离，想到过点O作三边的垂线段． 第(2)问，再作∠A的平分线，肯定也与点O有关，因此想办法证∠A的平分线过点O． 解答：

三、难题巩固

例1： 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：AP在平分∠BAC． 分析： 全等辅助线的常见作法中，有见角平分线作垂直，这里出现了两个有共线边的外角，则一共作三次垂直，这样，我们就可以用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段相等，接着，利用角平分线的判定定理，证明AP平分∠BAC． 解答：

例2： 如图，△ABC中，AD是BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试证明：AD垂直平分EF． 分析： 要证AD垂直平分EF，则需要证AE＝AF，DE＝DF，而AD是∠EAF的角平分线，因此，可以用角平分线的性质定理，从而避免用全等来证． 解答：

本讲思考题

已知：如图，AD∥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，

E是DC中点，求证：AB＝AD＋BC．(仅用一次全等)