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我们知道，无限不循环的小数是无理数.有些无理数因为它很重要而对它追根究底！在远古时期，人们就知道圆周长P与直径D的比值是不变的，即不论圆多大，比值P/D不变(叫圆周率).英国语言学家威廉·琼斯(William Jones，1675—1794)于1706年第一个采用π表示圆周率.π在很多数学公式中出现，如圆周长、圆面积、球体积、椭圆面积A=πab等. π究竟是多少？因生活的需要，这个问题曾经吸引过不少数学家的研究.起初，人们常用圆周率的一些近似值代替它进行计算.但随着精确度要求的提高，寻找更接近圆周率的近似值成了很重要的事情. 古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家阿基米德出生于西西里岛的叙拉古. 阿基米德到过亚历山大里亚，才智高超，兴趣广泛，并且享有“力学之父”的美称.他在《圆的度量》中采用穷竭法求圆的面积并计算π值. 【探索】如图4.4.1，阿基米德作圆内接正k边形和外切正k边形(k≥3，k∈N)，计算它们的周长与直径的比值，利用 对π值进行估计(分别称p1与p2为π的不足近似值与过剩近似值). 他先从圆内接正6边形和外切正6边形开始，然后考察正12边形，正24边形，……，正 不妨设圆O的半径R=1，D=2.如图4.4.1，圆O的内接正6边形和外切正6边形的边长分别是a6=AB和b6=A′B′，其圆心角为∠AOB=∠A′OB′=α6，α6=(360°6)=60°.由式(4.4.1)，得 作OM⊥AB于M，交A′B′于点M′.在直角三角形OMA中 所以， 在直角三角形OM′A′中 由式(4.4.3)知，3是π的一个不足近似值，3.464 1…是π的一个过剩近似值. 如此，通过对n取值来逐步逼近π的真值.如： 我国古代著名数学家，三国时魏国人刘徽，在263年左右注解《九章算术》时，阐述了“割圆术”，利用圆内接正多边形的面积去接近圆的面积来计算圆周率.他等分圆周越细，内接正多边形的面积与圆面积就越接近，只要这种分割无限进行下去，就可以获得圆面积的值.显然，这里隐含着今天的极限概念. 刘徽割圆术求圆面积的具体步骤如下： 设AC是圆O的内接正n边形的一边，记作an，AB和BC是该圆内接正2n边形的两条边，记作a2n.如图4.4.2所示，设正n边形的面积为Sn，分点倍增后的正2n边形面积为S2n，圆O的面积为S.
这就是刘徽的圆面积不等式，是用割圆术计算π的理论基础.刘徽推出：当半径为10寸时，正96边形面积
若将刘徽与阿基米德关于圆周率π的计算结果对照，可以发现，刘徽的上下界都比阿基米德的精确.更重要的是，刘徽只取圆内接正多边形而不用外切正多边形，起到了事半功倍的效果. 南北朝时期，我国有一位杰出的数学家、科学家，名叫祖冲之(429—500).祖冲之是汉族人，其祖籍是范阳郡遒县(今河北涞水县).为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南.祖昌曾任刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程.祖冲之的父亲也在朝中做官.祖冲之从小接受家传的科学知识.青年时进入华林学省，从事学术活动.他一生先后任过南徐州(今镇江市)从事史、公府参军、娄县(今昆山市东北)令、长水校尉等官职.其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面. 祖冲之算出π的真值在3.141 592 61和3.141 592 71之间，简化成3.141 592 6，成为当时世界上最先进的成就. 祖冲之还给出π的两个分数形式：(22/7)(约率)和(355/113)(密率)，其中密率精确到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现. 1500年左右，法国数学家韦达(Vieta，1540—1603)考察了单位圆的内接正4边形，正8边形，正16边形，……得到求出π的式子
1794年，法国数学家勒让德(Legendre，1752—1833)证明了π不能用两个整数的比来表示，即它是一个无理数. 1882年，德国数学家林德曼(Lindemann，1852—1939)证明了π是一个超越数. 虽然那时人们对于用无理数进行计算已经是很随便的了，但对于无理数是否确实是数却仍不放心.如，德国数学家斯蒂菲尔(Stifel，1487—1567)在他的《整数算术》中，讨论用十进制小数的记号表达无理数的问题时说：当我们想把它们用十进制数表示出来时，就发现它们无止境地往远跑，因而没有一个无理数实质上是能被我们准确掌握住的.而本身缺乏准确性的东西就不能称其为真正的.所以，正如无穷大的数并非数一样，无理数也不是一个真正的数，而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西. 然而，有些人则肯定说无理数是独立存在的东西.如，文艺复兴时期的荷兰数学家、力学家斯蒂文(Stevin，1548—1620)承认无理数是数，并能用有理数来不断逼近它们. 【注】文章来源于网络，版权归原作者所有。
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圆周率π是客观存在的,π的值其实就是给定的一个圆的圆周长P与其直径D的比值。
边形(n∈N)，如此逐步逼近π值.你能获得这些近似值吗？
