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前面我们谈到过数学的一些技巧记公式，这一次开始我们来谈一谈高考数学中的函数导数。 基础知识层面：求导运算公式与法则；导数的代数和几何意义 题型解法层面：求函数单调性与最值；方程解（函数零点）的分布；不等式成立证明与求解 数学思想层面：数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归、特殊与一般思想的应用 而如果将更多的题目放在一起看，我们将能够有更多不同的方式来对于考试规律及变化、题目设计技术以及分类训练方法做更多的研究。 今天我们先拿一道看似简单的基本题型来和大家分享一下，如何看到一道题目中更丰富的内容和层次。这是2013年北京市高考理科数学的第18题，函数导数大题，之所以选择它是因为它在北京高考数学的历史上具有划时代的意义：北京高考历史上第一次在导数大题中没有设置参数。 一般的，我们将导数中的切线问题归结为：以切点横坐标x0为核心的方程问题。在x0已知的情况下，一般是求切线方程的问题；在x0未知的情况下，则会变成关于x0的方程求解——特别是在复杂情况无法直接求解时方程的解（函数零点）的分布问题。 这道题目的第（Ⅱ）问则有趣很多。证明“曲线在直线下方”是一个典型的“形”的表述，需要首先转化成“数”的形式，即对应的不等式恒成立的问题（而“除切点外”是为了严谨性的需求，因为在切点处它们是相切的，无所谓上下）；而一般意义上，不等式的恒成立问题总是可以/应该转化成另一个函数的最值问题来进行处理，至此，导数如约出场，因为复杂函数的最值问题需要通过导数方法来进行解决。那么接下来我们先看看，在这个基本的转化化归思想的指引下，题目会变成什么样子。 至此，我们完成了题目的翻译，将一个图形关系的问题转化为了一个新函数的最值问题；接下来，求个导，求个单调性，求个最值，就可以了嘛… 方法一先分后合我们研究的本来就不是导函数整体，只是导函数决定符号的部分，比如上文的分子；我们研究的甚至不是导函数决定符号的部分，而只是导函数决定符号的部分的符号。而这个部分目前看来是由两个函数做加减法得到的，因此在整体判断和研究不易的情况下，当然应该考虑分开看正负，然后做运算。在相当一部分求导之后依然复杂的判断和讨论中，先分后合是非常重要的解决问题的思路，而这其实也是导数运算法则的题中应有之义。 方法二再次求导对于部分比较复杂的导函数（决定符号的部分），先分后合可能不足以解决问题。此时我们应该再次审视导数工具的意义：研究复杂函数的性质；一次求导并不足以毕其功于一役，所以再次求导来研究复杂的导函数，从而判断其零点与符号，是我们需要掌握的重要研究方法和解题思路。 方法三数形结合 方法四转化化归回到最开始的开始，我们其实已经进行了有效的转化工作，将图象上下关系转化为了新函数的最值问题，但依然不够，函数形式的复杂使得我们求导之后遇到了困难。如果我们能再多走一步，将不等式转化为更简单一些的函数，也许求导的复杂都不会出现呢。这就是我们经常讲到的，在方程与不等式问题中的，先转化，后计算；先变形，后求值。 |
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