实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正实数,负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。而 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位,n为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。 实数的运算法则1、加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把它们的绝对值相加; (2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用①加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变.即: ②加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,和不变.即: 2、减法法则: 减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b) 3、乘法法则: (1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘。 (2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负。 (3)乘法可使用①乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即: . ②乘法结合律 :三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.即: 。③分配律 : 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即: . 4、除法法则: (1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。即 (3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数。 5、乘方: 所表示的意义是n个a相乘,即 正数的任何次幂是正数,负数的偶次幂是正数,负数的奇次幂是负数. 乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算。无论何种运算,都要注意先定符号后运算。 实数计算的常见类型及方法一、实数的运算 (1)加法 同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加; 异号两数相加。取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;零乘以任何数都得零.即 (4)除法 (5)乘方 (6)开方 如果x2=a且x≥0,那么=x; 如果x3=a,那么 在同一个式于里,先乘方、开方,然后乘、除,最后加、减.有括号时,先算括号里面. 3.实数的运算律 (1)加法交换律 a+b=b+a (2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab=ba. (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac 其中a、b、c表示任意实数.运用运算律有时可使运算简便. 一、加法运算中的方法与技巧 例1 计算: 分析:(1)题的关键是确定运算顺序,有括号的还应先计算括号内的; (2)题的关键是求出绝对值符号中式子的值,进而求出整个式子的值.进行有理数的混合计算时,小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用 【小结】巧用加法的交换律与结合律,以达到简化的目的,同时注意交换加数位置时,一定要连同前面的符号一起移动. 实数加法运算中通常有以下规律:互为相反数的两个数先相加—“相反数结合法”;符号相同的数先相加—“同号结合法”;分母相同的数先相加—“同分母结合法”;几个数相加得到整数先相加—“凑整法”;整数与整数,小数与小数相加—“同形结合法”. 二、乘、除运算中的方法与技巧 例2:计算: 分析:(1)这里没有用括号规定运算顺序,所以我们应先算乘方,再算除法,最后算除法.(2)用括号规定运算顺序,所以应先算括号内的,再按顺序进行.另外也可以利用乘法对加法的分配律去掉括号,然后再按顺序进行. 点评:在进行有理数的混合运算时,一要注意运算顺序的正确;二要注意符号的变化;三要注意在运算性质时不要出现错误. 三、幂的运算 【例3】 计算: 【小结】表示4个-2相乘,负数的偶次方是正数,而表示的相反数,结果为负数,两者意义不同,注意区别.同理,表示3个-2相乘,表示的相反数,表示3个相乘,表示除以5的商的相反数,两者意义不同,注意观察,当底数是分数时,底数要加括号. 四、在混合运算中灵活运用运算律
【小结】 此题利用分配律计算非常简便,但同时是同学们在计算时容易出错的地方.第一种方法是把括号中的式子看作和的形式,分别相乘,再相加.第二种方法是先定符号,后面注意整体思想.第三种方法,第一部分相乘时先定符号,后定值.
【小结】 善于观察,寻求解决问题的策略,是至关重要的.灵活使用交换律和分配律,使解决本题的步骤变得简捷明快.
【小结】 有理数的加减乘除混合运算中,如果有括号通常先算括号里面的,如果无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行.此题,在将混合运算中的除法转化为乘法后,运用乘法运算律简化计算.同时注意多项式除以单项式可用分配律.单项式除以多项式不可用分配律,必须把除数作为一个整体来进行计算. 五、二次根式的运算 例8:小东在学习了后, 认为也成立, 因此他认为一个化简过程: 是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说你的理由。 分析:二次根式的化简要根据其基本性质进行,对于性质:,是有条件的即:,做题时应注意这一点。 解答:他的化简过程是错误的,这是因为:根据性质:,应有条件, 而该同学在的化简过程中,显然出现了违背条件的情况,与是没有意义的,因此他的化简过程是错误的。正确的应是: 点评:运算性质是运算的基础,要准确全面的把握运算性质,不能断章取义,在复习是要注这一点,对某一知识的掌握要全面、深刻而不能仅仅局限于了解、知道或模棱两可,这是总复习中的大忌。 拓广: 对于题目“化简并求值:,其中,甲、乙人的解答不同. 甲的解答是: 乙的解答是: 谁的解答是错误的?为什么? 解:乙的解答是错误的,因为:,则,故有: 六、开放性问题 【例9】 现有四个有理数3,4,-6,10运用有理数的四则混合运算写出三种不同方法的运算式,使其结果等于24,运算如下: ( 1) ________________________ (2) ________________________ (3) ________________________ 解:(1) 10-[(-6)×3+4] (2) (10+4-6)×3 (3) 4-[10×(-6)]÷3 【小结】 此题具有开放性、探究性,要发散思维,结合有理数的混合运算性质,多角度寻求解题途径 经典例题 对于任意非零实数x,y定义的新运算“⊗”:x⊗y=ax-by,等号右边是乘法和减法的运算,已知:2⊗3=2,3⊗5=2,则3⊗4=_____. 答案: 4 解析: 根据题意列出方程组,求出方程组的解得到a与b的值,再将所求式子利用新定义变形后计算即可求出值. 解:根据题意得:, ①×3-②×2得:b=2, 将b=2代入①得:2a-6=2,即a=4, 则3⊗4=12-8=4. 故答案为:4 在实数的原有运算法则(“?”和“-”仍为通常的乘法和减法)中,我们补充定义新运算“”如下:当时,;当时,.则当时,函数的最大值等于() A.-1 B.1 C.6 D.12 答案: C |
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