汽车变速箱齿轮变位的理念探讨之二

车变速箱齿轮变位的理念探讨之二

(2013-08-03 09:55:00)

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接上文

一，瞬心线：节圆、分圆的基本概念。齿形啮合基本定理。

二，渐开线的特点：作用线和接触线。

三，齿轮变位：基准齿条和产形齿条。

一，瞬心线、节圆和分圆的基本概念

    节圆和分圆都是瞬心线的一种特定的表示。只有弄清楚瞬心线，才能了解节圆和分圆以及齿形啮合基本定理。

关于瞬心线的基本概念和理论推导，我认为吴序堂教授的“齿轮啮合原理”①，论述得比较清晰，我这里做部分择录。

1-1，瞬心：一对啮合的直齿轮，分别以角速度ω₁和ω₂，繞其中心O₁和O₂做旋转运动，它们在任意点M接触，齿轮1在M点的瞬时圆周线速度（矢速）为 ,  齿轮2在M点的瞬时圆周线矢速  ,  为 和的矢速差，即齿轮1相对齿轮2的瞬时相对速度。不同的接触点，瞬时相对速度也不相同。见图（1-1）。

齿轮1相对齿轮2的瞬时相对速度等于零的点，即V₁（ 模）和V₂（模）的大小相等，方向相同的点，是为相对运动的瞬时中心，简称瞬心。

因为 和的方向相同，所以瞬心只能位于齿轮中心线O₁O₂上。

瞬心是一个非常重要的点。瞬心又称作节点。 

1-2，瞬心线：两个齿轮分别做相对运动，其瞬心的移动轨迹，称为瞬心线。见图（1-2a和b）。

令瞬心为  P，O₁P=r₁ , O₂P= r₂ , 中心距O₁O₂=A。

因为瞬心的速度大小相等，即 V₁= V₂ ，而V₁=ω₁r₁ ，                    

V₂=ω₂ r₂ ，所以ω₁ r₁=ω₂ r₂ ，即它们的瞬时传动比为 

=f……………（1-1）

当瞬时传动比i_1,2为变量的齿轮运转时，P点沿中心线O₁O₂变动，为非圆齿轮。当瞬时传动比i _1，2为定值时, P点固定。

  因为r₁=A－r₂ = A－r₁f ,并且r₂= r₁f，所以，瞬心线方程式为

r₁= ……………………..（1-2）

r₂== …………………（1-3）

一般齿轮的传动比i_1-2为定值,中心距A也是定值，所以，r₁和r₂都是定值，因此，瞬心线是2个圆。1-2和.1-3瞬心线方程式是2个在P点相切的圆。

由于两瞬心线在任意瞬时都只接触在一点（瞬心），而在接触点处，它们的相对运动速度又等于零，所以它们作相对的纯滚动。这就相当于两个摩擦轮在纯滚动。它们的运动规律和两个齿轮运动规律是相同的。

图（1-2a）和（1-2b）给出两个齿轮啮合的瞬心线，（1-2）c为齿轮和齿条啮合的瞬心线。

1-3，齿轮和齿条啮合的瞬心线方程式：齿轮和齿条的啮合时情况和齿轮副啮合相似，它们相对运动速度等于零的点，是为瞬心。瞬心一定位于过齿轮中心O₂并且与齿条平移速度方向V₁垂直的直线上。因为只有在这一点，齿轮的圆周速度V₂的方向才与V₁相同。如图（1-2c）所示。

齿轮中心O₂到瞬心的距离为r₂，瞬心点通常标为P，齿条平移的瞬时速度V₁，齿轮转动的瞬时角速度ω₂，则齿条与齿轮的瞬时传动比

ψ（φ₂）

上式表示当传动比i_1,2是变数时，i_1,2为齿轮转角φ₂的函数。

因为在瞬心点    ω₂ r₂=V₂= V₁

所以           r₂= = =i_1,2，，，，，，，，，，，，，，（1-4）

因为i_1,2 是一个定值，所以与齿条啮合的齿轮的瞬心线是一个圆。

齿条的瞬心线是平行于它的平移方向并与它相距R₂的直线。瞬心点（节点）P的位置固定不动。

1-4，节圆和分圆。

齿轮与齿轮啮合运转的相对运动瞬心线称为节圆。

两个齿轮的传动速比i_1-2等于它们节圆半径的反比。

齿轮与齿条啮合运转的相对运动，该齿轮的瞬心线称为分圆，齿条的瞬心线称为齿条的节线。

节圆：单独齿轮，不存在节圆，只有分圆。这是因为节圆是只能和其它齿轮啮合时而存在，它的直径大小与其中心距A以及传动比

i _1,2有关。这从公式（1-2），（1-3）可以看出。因此，同一个齿轮，可以有不同的节圆直径(在一定范围内)。

分园：因为分圆直径与其相啮合齿轮的大小无关，它有完全确定的数值，这个分圆直径的数值，由与其相啮合的齿条参数决定。

齿条中线：将齿条的瞬心线平分齿距（即齿厚和齿间相等）的直线，称为中线。这时它和节线重合。齿条中线是一个固定的直线。

齿条节线：单独齿条，不存在节线，只有中线。分圆直径与齿条节线有固定的关系。节线到分圆中心距离，等于分圆的半径R₂ ，即节线始终与分圆相切，在齿条变位时，也是如此。和两个齿轮啮合情况相同，齿条节线与齿轮的分圆也是作相对的纯滚动、没有滑动。

在标准（非变位）情况下，齿条与齿轮啮合，它的的节线与中线重合。对于变位齿轮，节线和中线分开，但它始终和分圆相切。中线和节线的距离，为变位量。在变位齿轮一节中，将做详细介绍。

1-5，齿形啮合基本定理：

     齿形啮合基本定理：共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点，即节点P。

这个定理又称Willis定理。它在研究齿轮传动中广泛应用。

何为共轭齿形？：齿轮在传动过程中，两个瞬心线作纯滚动，两个齿形时时保持相切接触，这种齿形称为共轭齿形(Conjugate Profile)。

   在某个瞬时，齿轮1和2的瞬心线在P（瞬心）点相切，齿形切点在M，它们既然在M点相切，必有公法线和公切线。而它们要能连续地相切传动，既不产生干涉，又不互相脱开（即是齿形共轭），则它们在切点的相对运动速度一定要在公切线方向，即相对滑动方向。也就是 要与法线矢量 垂直，如图（1-3）所示。

相对运动的瞬时中心P的相对速度为零，它也是齿轮1相对齿轮2的相对角速度 （ 和）的中心①，它的相对运动的圆周速度就是接触点M的相对速度 ，即 和PM垂直。即

    = × ………...……..（1- 5）

（1-5）式说明，两齿轮齿形在任意接触点M的相对运动速度，就等于这一点以角速度 繞P点转动时的线速度。由此又可知， 与 是垂直的。

这就是齿形啮合基本定理：共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线（又称作用线）必然通过位于齿轮中心线上的一个固定点P，此点称为节点。

这个定理是齿轮啮合概念的基础。它的理念贯彻本文始终。

二，渐开线的特性

2-1，渐开线方程：一条缠绕在一个圆的圆周上的线，将其末端拉伸，末端展开所形成的曲线，称为渐开线。如图2-1所示。这个圆称为基圆。渐开线方程式如下

设r=渐开线任一点M的半径

=径矢角（vectorial angle）

  ψ=M点的渐开线展开角

  R_b=基圆半径

 =渐开线的展形线。

从渐开线起始点M_b沿圆周移动到P点，这段弧长⌒PM_b，和从M_b 点展开到M点的直线的长度相等，即 ⌒PM_b = ，弧长⌒PM_b所对圆心角为ψ。因此，

 ⌒PM_b=ψR_b=（）R_b

因为 ⌒PM_b = ，则

在直角三角形POM内，   =    

         

所以

…………….（2-1）

  (2-1)式是一个非常重要的渐开线极坐标方程式，将角以inv 表示 （以弧度计），

即       inv =tan － ……………….(2-2)

inv 称为渐开线函数。齿轮计算经常使用。在计算机时代以前，它和三角函数表一样，给出渐开线函数表，计算时查用。

另外        …………………（2-3）

(2-3)式表明渐开线的特性。M是渐开线上的任一点，线为渐开线的法线，它始终和基圆相切；下面将证明，它也是渐开线在M点的曲率半径。渐开线各点的径向位置不同，其压力角大小也不相同，在基圆R_b处， =0，在齿顶圆R_a处， 角最大。

2-2，渐开线的曲率半径

   齿形的曲率半径是一个非常重要的参数，它与齿面强度有关。

2-2a，渐开线的微分

设 =渐开线任一点的曲率半径

  r=渐开线任一点的径矢（radius vector）

φ=渐开线切线和径矢r的夹角,如图2-1所示，则

tan = = …………………..(2-4)

但是后面的数值也是角的正切，所以这条渐开线的切线，平行于渐开线的展成线起始点的径向线。所以渐开线的切线是垂直于展成线，换句话说，展成线是渐开线的法线。

2-2b，渐开线的曲率半径

设 =渐开线曲率半径，则从(2-4)式可知

……（a）  

 

 

 …….……（b）

微分几何学给出渐开线的曲率半径公式，为

1），对于直角坐标系

       = …………..（2-5）

2），对于极坐标系

   = ………（2-6）

将（a）、（b）式代入（2-6）式，化简后，可得

       …………….（2-7）

由（2-7）式可知：

1）， =，说明渐开线任一点的曲率半径长度，就是由切于基圆的展形线到渐开线这个M点的长度，也就是切于基圆的展形线到渐开线M点的法线长度。

2）， 和r成正比。在基圆处，r=R_b， =0, 即在基圆处渐开线的曲率半径为零；在齿顶，r = r_a，  ，r_a为齿轮的外圆半径。

2-3，渐开线像一个匀速举升的凸轮

渐开线的简单概念，是一个匀速举升的凸轮，它沿着切于半径为R_b的基圆的直线上升，基圆每转，它的举升高度等于基圆圆周长度。如图2- 2所示。如果这个凸轮按照图示的箭矢方向匀速旋转，它将推动带有圆形滚子的随从体匀速上升。如果凸轮反方向旋转，随从体将匀速下降。

     随从体滚子和凸轮渐开线的接触途径是一条切于基圆的直线。这说明渐开线作用于圆形随从物的接触路线，是一条切于基圆的直线。这是渐开线唯一的特性，区别于其它所有的齿形曲线。

2-4，一条渐开线作用于另一条渐开线

   上面说明，渐开线作用于圆滚子的接触路线，是一条切于基圆的直线，下面将阐述两个渐开线齿形的相互作用接触路线，也是一条分别切于两个基圆的直线。

在两条渐开线的接触点处，它们的切线是重合的。这两条切线总是分别垂直于它们自己的展形线。只有当其中一条展形线是另一条展形线的延长线时，这条切线才能重合。所以，两条渐开线的接触点轨迹是两个基圆的公切线。如图2-3所示。                                 

     当一条渐开线匀速旋转时，从基圆切点到渐开线P点的展形线长度，也是在匀速改变着。如果旋转方向按图2-3的箭头所示，则此线的长度增加。与此同时，与之相啮合的另外一条渐开线的展形线，其长度是按同等的速率减小着。这是因为两个基圆的公切线总长是一个定值。这说明第二条渐开线也必定是在匀速旋转着，旋转方向如图2-3的箭头所示。