什么是模态截断？

在一些文献或资料中经常会看到模态截断这个名词，可能文中会这样说：由于模态截断的原因，导致最终结果存在差异。单单做模态分析，似乎不提模态截断这个概念，那到底什么是模态截断呢？它有什么影响呢？

在讲述模态截断之前，让我们先回顾一下信号截断，这样会帮助我们理解模态截断。在《什么是泄漏？》一文中曾经对信号截断作过明确的定义。在这我们再回顾一下，FFT分析时一次只能分析有限长度的时域信号，而实际采集的时域信号时间很长，因此，需要将采样时间很长的时域信号截断成一帧一帧长度的数据块，这个截取过程叫做信号截断。如图1所示，将10s的时域信号按1s长度截成了10块，不考虑重叠，那么这就是信号截取过程。

图1 信号截断

理论上讲，结构有无穷多阶模态，但实际我们在试验测量或有限元分析时，只能得到有限阶的模态，可能都是一些低阶模态，那么，相对而言，我们测量或分析得到的模态只是结构全部模态的一部分，因而，这就是模态截断。进行的任何测量或分析都不可能得到结构所有的模态，所以，模态截断总是存在的。通常试验模态测量或计算模态分析时，只能选择一定的频带，那么，这个频带内的模态阶数是确定的，因此，选择的频带就相当于进行了模态截断。当然了，有的商业有限元软件进行模态分析时，是按模态阶数来提取模态的，那么，这也是进行了模态截断。所以，模态分析，不管是试验还是分析，只能获得一定数量或一定频带内的模态，而不是全部的模态，这就是模态截断的概念，相当于从结构所有模态中截取了一部分模态。

由于不管是计算模态还是试验模态，模态截断总是存在的，那到底我们凭什么来进行模态截断呢？对于计算模态而言，有一个参数即模态有效质量，要求提取到的模态阶数的模态有效质量点结构总质量的90%以上。对于试验模态而言，通常要求应包含结构工作状态下所激起来的模态，如在车辆行业，通常按频率进行截断，如80或100Hz以内的模态；在桥梁行业，通常要求获得桥梁前三阶模态。

由于模态截断总是存在，因此，我们需要明白的是模态截断是否会对我们想得到的结果有影响。初看起来，如果只是做模态分析，似乎看不出来有明显的影响，但是当你使用模态分析的结果去作进一步的应用时就可能会存在明显的影响。当然了，如果获得了足够多的模态，那么这时模态截断的影响是可以忽略的。在这，我们主要介绍三种应用情况。

1.模态叠加计算响应

通过前面的文章《什么是模态振型？》，我们已经明白结构任一位置的响应都可以表示成模态向量φ与模态坐标q的乘积，即各个测点的响应为

当通过模态叠加法进行响应计算时，如果使用的模态阶数N大于或等于结构实际被激励起来的那些模态，那么，相对而言，此时的模态截断对响应计算结果没有影响或者说影响可以忽略。但是，如果响应计算过程中使用的模态阶数小于结构实际被激励起来的那些模态阶数，那么，模态截断必然对响应计算结果造成明显的影响。因而，在响应计算中，必须考虑至少使用多少阶模态才对结果没有影响。也就是说响应计算中必然要考虑模态截断的影响。

2. 结构动力学修改SDM

结构动力学修改SDM是一个分析工具，主要是用模态数据（分析数据或实验数据）去估计系统的动态特性如何随系统的质量、阻尼和刚度这些基本量发生变化而变化。注意仅仅是用模态数据（频率、阻尼和模态振型）预测动态特性的改变，原始的FEM数据或者测试数据不需要做任何修改。然而，一旦进行了结构动力学修改，强烈建议再次分析修改后的FEM或者再次测试修改后的被测对象。根据理论可知，结构动力学修改后的系统的最终模态是修改前原始系统模态的线性组合。

在《模态边界条件：自由边界与约束边界的差异》一文中已经说明对同一结构从自由边界变换到约束边界，是对结构进行了动力学修改，修改后的约束边界下的模态可以通过修改前的自由边界的模态的叠加得到。当然不是所有的试件都能用修改前的模态叠加得到，前提是最终修改后的模态必须能够由修改前的模态的线性组合得到。如果能做到这一点，那么可以准确地由自由边界的模态得到约束边界的模态结果；如果不能，那么由于模态截断的原因将会产生误差。

如图2所示，对自由-自由梁进行结构动力学修改，得到简支梁和悬臂梁。如果只使用自由-自由梁的前5阶模态（模态截断），能否得到简支梁和悬臂梁的第2阶模态振型。

图2 简支梁的第2阶模态

修改后的简支梁模态很容易由原始系统未修改的自由-自由梁模态的线性组合得到。观察图2，注意到原始自由-自由梁系统的2阶和4阶模态是最终修改后的简支梁的第2阶模态的最主要贡献者。那么这时，由自由-自由梁的前5阶模态可以完全得到简支梁的第2阶模态，也就是说此时，自由-自由梁的5阶模态截断对结果没有影响。

考虑修改后的悬臂梁的模态，如图3所示，发现原始自由-自由梁系统的前五阶模态对悬臂梁的模态都有很大的贡献。事实上，需要更多的模态才能得到悬臂梁第2阶模态的精确结果，因此，此时，自由-自由梁的前5阶模态是得不到悬臂梁的第2阶模态振型的。故，此时自由-自由梁的5阶模态截断对结果造成了明显的影响。如果需要获得悬臂梁的第2阶模态，那么需要更多的自由-自由梁的模态。

图3 悬臂梁的第2阶模态

因此，使用SDM获得准确的修改后的模型的原则是，最终修改后的模态必须能够由修改前的模态的线性组合得到。如果能做到这一点，那么可以得到准确的结果；如果不能，那么由于模态截断必将会产生误差。

3. 模态贡献量分析

模态贡献量分析实质上与模态叠加计算响应是一个互逆的过程。响应计算是通过模态向量与模态坐标的乘积获得结构的总响应，而模态贡献量是由总响应来求各阶模态对总响应的贡献，也就是求模态坐标。所以，二者在一定程度上是一个互逆的过程。

模态贡献量是某阶模态引起的响应在总响应中的比重，也就是模态坐标。总响应可以是时域ODS结果，也可以是频域ODS的结果。ODS是模态振型以某种线性方式的组合，也可以说是模态线性叠加的结果。因为我们总是只能分析一定带宽之内的模态，也就是模态截断，因此分析带外还有模态。在进行模态贡献量分析时，带外的模态就会对应一个残余项，假设对某ODS进行模态分解：

式中

    X_i：被分解的第i个ODS‍

    Ψ_i：模态向量矩阵中的第i阶模态振型

    q_i：满足该方程的比例系数（比重），或模态坐标

    Rest：则为分析带宽外的模态的贡献

因此，进行模态贡献最分析时，首先要获得模态分析结果，如果这时模态截断得到的模态分析结果如果不能充分描述结构的总响应，那么在进行贡献量分析时rest项的比重会加大，为了减少rest的比重，必须要获得足够多的模态。也就是说在模态贡献量分析时，必须考虑模态截断带来的影响。

 

总的说来，模态截断总是存在的，不管是试验模态还是计算模态，因为我们只能分析一定带宽内的模态，因而得到不到结构所有的模态。如果仅从模态分析的角度上讲，很难判定模态截断对结果有多大的影响，但是，当我们利用模态分析结果去作进一步应用时，就必须要考虑模态截断带来的影响，如响应计算，模态贡献量分析等应用。