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看到标题，你是一脸懵逼呢，还是两脸懵逼。今天，就让我们来体验一下数学的神秘吧，不过，在看之前，你得抛开你积累多年的知识，把自己想想成一个初识数学的婴儿，否则你将寸步难行。 我们先来看公式： 全体自然数字和 200多年前的一天下午，在瑞士的巴塞尔，在美丽的莱茵河畔，晴朗的天气，让来来往往的行人，似乎多了几分轻快。 此时正坐在桌前的欧拉，放下了他手中的笔，一个个数学公式和数字在他脑海中闪过，这位拥有天才大脑的年轻人，无时无刻地搜寻着任何一丝有价值的灵感。 欧拉 突然，他又拿起了手中的笔，毫不费力地写下了几个级数，犹如从他记忆中，抄写出来一样轻松。他开始摆弄这几个级数，运算了大约一页的内容，然后拿出一个崭新的纸张，写下了这个级数1+2+3+4+……=-1/12； 他皱了皱眉头，似乎对这个结果心存疑虑，他又深思了一会，然后露出了得意的笑容；似乎欧拉也没弄懂这个级数的含义，不过这个结果是多么的美，以至于他完全忘了这个结果的怪异，于是，他把这个等式正式记录了下来，还时不时拿出来欣赏一番。 。。。。。。。。。。 殊不知，这个结果足足趟了200多年，才真正被物理学家赋予了意义，上世纪七十年代，物理学家苦苦寻找相对论和量子力学统一的理论，最后弦理论脱颖而出，物理学家在利用弦理论，解释光子的时候，却遭遇一个发散的结果，这让物理学家坐卧不安，这明明是实实在在的光子，怎么可能得出一个发散结果呢！ 弦理论想象图 物理学家一遍又一遍地检查推导过程，实在找不出问题所在，直到有一天，一位物理学家脑中灵光一闪，好像欧拉的这个等式，可以用在这里，然后他把欧拉的这个级数结果，带入弦理论中进行运算，无穷大居然被消除了，计算出来，空间维数E=10，加上一维时间，那么时空就是11维的，这个奇怪的级数，居然让弦理论重燃新生。 。。。。。。。。。。 故事讲到这里，我们来看看，这个看似不可能的级数，为什么能合理存在呢？我们不做过深的数学分析，我们只想看看这个级数神秘在什么地方。 这个级数的严格定义，是大名鼎鼎的黎曼ζ(s)函数（s≠1），也写作zeta（s）函数，在自变量等于-1时的值，有兴趣的读者，可以去了解黎曼函数相关知识，在这里，我们只需要知道这个结果是正确的就行。 黎曼ζ(s)函数（s≠1） 为了帮助大家理解，这个看似不可思议的结果，我们需要先忘掉她，来考虑这么一个级数S（x）: 构造的S（x）函数 简单一看，我们有把握地说，这个级数的定义域是（-1，1），除此之外是发散的，看不出来的人，估计这篇文章也看不到这里来。 然后，我们简单做一个变换，会得到不可思议的结果： 函数计算过程 乍一看，这个级数，居然等于1/（1-x），有的人可能反应过来，用泰勒级数展开不就得了；如果这样想，那就少了很多乐趣和奇妙。 我们来考虑，原级数S（x）和1/（1-x），到底有什么区别，原级数定义域在（-1，1）之间的任何值，都可以用1/（1-x）计算而来。 然而1/（1-x）的定义域却变了，只需要x≠1就行，那么1/（1-x）多出来的定义域，对于原级数S（x）来说意味着什么呢？好像有块新大陆等着我们去发现。 没错，这个发现让我们明白：一个无穷级数，可能只定义了一个函数的一部分；或者用专业点的术语说，一个无穷级数，可能仅在一个函数的部分定义域上，定义了这个函数。这个函数的其他定义域，可能被隐藏在某个地方，等待被某种技巧来发现，就像我们用于S（x）的技巧那样。 既然级数的定义域被我们扩展了，那我们来摆弄摆弄，这个级数试试： S（x）在自变量为-1时： S（x）在x=-1时的值 而1/（1-x）在x=-1时，给出的值为1/2，是不是有点不可思议。 换句话说： 1-1+1-1+1-1+1-1+…….=1/2； 到了这里，大家或许焕然大悟，黎曼ζ(s)函数也是这种情况吗？可以肯定地告诉你……是的。所以才有了，我们开篇提到的那个级数： 1+2+3+4+……=-1/12； 这也是通过扩展定义域得到的，数学上有专门的名词，叫做解析延拓;，是个非常遇冷的数学研究方向。只是黎曼ζ(s)函数延拓出来的函数非常复杂，需要用积分表示，在这里，我可以给你看她的表达形式 黎曼函数的解析延拓 是不是三脸懵逼，算了，我们接受结果就行了：全体自然数字和等于-1/12。 想知道其中奥秘的，可自行去了解，本世纪最大的数学难题……黎曼猜想！甚至哥德巴赫猜想，在黎曼猜想面前，都是小巫见大巫！ |
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