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中考加油 | 每日一道中考题,助力中考得高分(41)

2017-10-13  小绵羊佩...

数姐说:

今天带来一道几何证明问题

23.已知点A、B在半径为1的⊙O上,直线AC与⊙O相切,OC⊥OB,连接AB交OC于点D.

Ⅰ)如图①,若∠OCA=60°,求OD的长;

Ⅱ)如图②OC与⊙O交于点E,若BE∥OA,求OD的长.

先自己思考

本题考点


切线的性质.

题目分析


1)由切线的性质可知∠OAC=90°,由三角形的内角和定理可知∠AOC=30°,由∠AOB=∠AOC+∠BOC可得出∠AOB的度数,结合OA=OB可得出∠OAB=∠OBA=30°,由此可得出OD=AD,由∠OAB与∠DAC互余可知∠DAC=60°=∠DCA,由此得出△DAC为等边三角形,从而得出OD=AC,由特殊角的三角函数值即可得出结论;

2)由OC⊥OB且OC=OB可知∠OBE=∠OEB=45°,再由BE∥OA可得出∠AOC=45°,结合切线性质可得出OA=AC,根据角与角之间的关系逐步得出∠CAD=∠CDA=67.5°,由此可得出AC=CD,结合勾股定理即可得出结论.

题目解析


解:(1)∵AC与⊙O相切,

∴∠OAC=90°.

∵∠OCA=60°,

∴∠AOC=30°.

∵OC⊥OB,

∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°.

∵OA=OB,

∴∠OAB=∠OBA=30°,

∴OD=AD,∠DAC=60°

∴AD=CD=AC.

∵OA=1,

∴OD=AC=OA·tan∠AOC=

2)∵OC⊥OB,

∴∠OBE=∠OEB=45°.

∵BE∥OA,

∴∠AOC=45°,∠ABE=∠OAB,

∴OA=AC,∠OAB=∠OBA=22.5°,

∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°.

∵∠DAC=90°﹣∠OAB=67.5°=∠ADC,

∴AC=CD.

∵OC==

∴OD=OC﹣CD=1.

本题点评


本题考查几何证明问题

      

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