第7讲一元二次方程考点一一元二次方程的定义1．只含有一个未知数并且未知数的最高次数是这样的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是＋bx＋c＝0(a是常数且a≠0)．2．一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．考点二一元二次方程的解法1．直接开平方法：如果x＝a(a≥0)则x＝±即＝＝－2．配方法：如果x＋px＋q＝0且p－4q≥0则＝－q＋＝－＋＝－－
3．公式法：如果方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)且b－4ac≥0则x＝4．因式分解法：若方程ax＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)(a≠0)则ax＋bx＋c＝0的根为x＝－x2＝－
温馨提示：
解一元二次方程时要根据方程的特点灵活选择合适的方法一般顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于0的一元二次方程．考点三一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b－4ac一般用符号Δ表示．(1)b2－4ac＞0方程有两个不相等的实数根即＝；(2)b2－4ac＝0方程有两个相等的实数根即＝＝－；
(3)b2－4ac＜0方程没有实数根．一元一次方程没有根的判别式因此在逆用判别式时一定要保证二次项系数不等于零．考点四一元二次方程根与系数的关(注：为选学内容后面类同)1．若关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根分别为x则x＋x＝－＝2．(简易形式)若关于x的一元二次方程x＋px＋＝0有两个实数根分别为x则x1＋x＝－p＝q.1．首先把一元二次方程化成一般形式再利用根与系数的关系．在应用根与系数的关系时一定要保证一元二次方程有实数根．
考点五一1．列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤相同即审、设、找、列、解、检、答七步．
2．常见的列一元二次方程解应用题的类型(1)增长率问题对于正的增长率问题设a为原来的量为平均增长率为增长次数为增长后的量则a(1＋x)＝b；对于负的增长率问题则a(1－x)＝b.(2)比赛场次问题个队进行单循环比赛一共比赛场．(3)面积问题求不规则图形的面积问题通常做法是把不规则图形转化成规则图形找出变化前后面积之间的关系然后列方程求解．
考点一一元二次方程的解例1(2016·天津)方程x＋x－12＝0的两个根为()＝－2＝6．＝－6＝2＝－3＝4．＝－4＝3【点拨】方法1：原方程可化为(x＋4)(x－3)＝0＋＝或x－3＝0.∴x＝－4＝3.故选方法2：∵b－4ac＝1－4×1×(－12)＝1＋48＝49＝＝＝＝3＝＝－4.故选【答案】
方法总结：
解一元二次方程x＋bx＋c＝0的方法：(1)当满足m＋n＝－b＝c时该一元二次方程可以分解为(x－m)(x－n)＝0所以该一元二次方程的两个根是x＝m＝n.(2)解一元二次方程当找不到合适的方法时就采用公式法．考点二一元二次方程的解法例2如果x－x－1＝(x＋1)那么x的值为()或－1．或1．．－1【点拨】由x－x－1＝(x＋1)可得x－x－2＝0解得x＝2或x＝－1(舍去)．故选【答案】
方法总结：
在一元二次方程的四种解法中优先选择顺序依次为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．考点三一元二次方程根的判别式
例3(2016·成都)已知关于x的方程3x＋2x－m＝0没有实数解求实数m的取值范围．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式掌握根的判别式与根的对应解：∵关于x的方程3x＋2x－m＝0没有实数解＝2－4×3×(－m)＜0解得m＜－的取值范围是m＜－
方法总结：
若一元二次方程有实数根那么应该包括有两个不相等实数根和有两个相等的实数根两种情况切勿丢掉等号．
考点四一元二次方程根与系数的关系例4(2016·南充)已知关于x的一元二次方程x－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．(1)求m的取值范围．(2)如果方程的两个实数根为x且2x＋x＋求m的取值范围．
【点拨】(1)根据判别式的意义得到Δ＝(－6)－4(2m＋1)≥0然后解不等式即可；(2)根据根与系数的关系得到x＋x＝6＝2m＋1代入不等式并解不等式再结合(1)中的结论确定满足条件的m的取值范围．解：(1)∵方程x－6x＋(2m＋1)＝0有实数根＝(－6)－4(2m＋1)≥0.化简得32－8m≥0解不等式得m≤4.(2)根据一元二次方程根与系数的关系得x＋x＝6＝2m＋1．＋x＋x(2m＋1)＋6≥20.解不等式得m≥3.又由(1)得m≤4的取值范围是3≤m≤4.考点五一元二次方程的应用例5(2016·永州)某种商品的标价为400元/件经过两次降价后的价格为324元/件并且两次降价的百分率相同.(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件两次降价共售出此种商品100件为使两次降价销售的总利3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【点拨】(1)设该种商品每次降价的百分率为x根据“两次降价后的售价＝原价×(1－降价百分比)即可得出关于x的一元二次方程解方程即可得出结论；(2)设第一次降价后售出该种商品m件则第二次降价后售出该种商品(100－m)件根据“总利润＝第一次降价后的单件利润×销售数量＋第二次降价后的单件利润×销售数量”即可得出关于m的一元一次不等式解不等式即可得出结论．
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x依题意得400×(1－x)2＝324解得x＝10或x＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10(2)设第一次降价后售出该种商品m件则第二次降价后售出该种商品(100－m)件第一次降价后的单件利润为400×(1－10)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为324－300＝24(元/件)．依题意得60m＋24×(100－m)＝36m2400≥
3210，
解得m≥22.5.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元第一次降价后至少要售出该种商品23件．
方法总结：
列一元二次方程解决实际问题时一定要检验最后的结果对不符合实际问题的未知数的值应舍去．
1．下列方程是关于x的一元二()＋2y＋1＝0＋＝2＋bx＋c＝0．(x＋1)＝2(x＋1)
2．(2016·兰州)一元二次方程x＋2x＋1＝0的根的情况()有一个实数根B．有两个相等的实数根有两个不相等的实数根D．没有实数根
3．(2016·江西)设αβ是一元二x2＋2x－1＝0的两个根则αβ的值是()－2．－14．一元二次方程(2x－5)－(x＋4)＝0的解为＝＝9．
5．若关于x的一元二次方程(m－1)x＋5x＋m－3m＋2＝0的一个根是0则m的值是．6．(2016·新疆)某加工厂九月份加工了10吨干果十一月份加工了13吨干果设该厂加工干果重量的月平均增长率为x根据题意可列方程为(1＋x)＝13．
7．已知关于x的一元二次方程x－2x＋m－1＝0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)设p是方程的一个实数根且满足(p2－2p＋3)·(m＋4)＝7求m的值．
解：(1)Δ＝(－2)－4(m－1)＝8－4m≥0(2)∵p是方程x－2x＋m－1＝0的一个实数根－2p＋m－1＝02p＝1－m(1－m＋3)(m＋4)＝7即16－m＝7＝±3.又∵m≤2＝－3.一、选择题(每小题3分共27分)1．(2016·新疆)一元二次方程－6－5＝0配方可变形为()(x－3)＝14B．(－3)＝4(x＋3)＝14D．(＋3)＝4【解析】∵x－6x＝5－6x＋9＝5＋9即(x－3)＝14.故选2．(2016·青岛)输入一组数据按下列程序进行计算输出结果如下表：
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 －13.75 －8.04 －2.31 3.44 9.21分析表格中的数据估计方程(x＋8)－826＝0的一个正数解x的大致范围为()【导学号90280067】
【解析】当x＝20.7时(x＋8)－826＝－2.31；当x＝20.8时(x＋8)－826＝3.44,故(x＋8)－826＝0时＜x＜20.8.故选
3．(2016·攀枝花)若＝－2是关于的一元二次方程＋－0的一个根则的值为()－1或4B．－1或－4或－4D．或4
【解析】根据题意将x＝－2代入方程x＋－a＝0得4－3a－a＝0即a＋3a－4＝0,左边因式分解得(a－1)(a＋4)＝0,＝1或－4.故选4．(2016·泰安)一元二次方程(＋1)－2(－1)＝7的根的情况是()无实数根B．有一正根一负根有两个正根D．有两个负根【解析】原方程可变形为x－6x＋8＝0左边因式分解得(x－4)(x－2)＝0解得x＝4＝2.故方程有两个正根．故选
5．(2016·雅安)已知关于的一元二次方程＋－＝的一个实数根为2则另一实数根及的值分别为()－2B．－4－2C．4－4
【解析】设另一实数根为x由根与系数的关系式得2x＝－8＋x＝－m,解得x＝－4＝2则另一实数根及m的值分别为－4故选D
6．(2016·河北)为常数且(－)2＞＋则关于的方程＋＋＝0根的情况是()【导学号90280068】有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根无实数根D．有一根为0
【解析】∵(a－c)＝a＋c－2ac＞a＋c＜0.在方程ax＋bx＋c＝0中＝b－4ac≥－4ac＞0方程ax＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故选
7．(2016·广州)定义运算：＝(1－)．若是方程－＋＝0(＜0)的两根则－的值为()【导学号90280069】B．1C．2D．与有关
【解析】∵是方程－＋＝0(＜0)的两根＋＝1.b★b－a★a＝b(1－b)－a(1－a)＝b(a＋b－b)－a(a＋b－a)＝ab－ab＝0.故选
8．(2016·威海)已知是关于的方程＋－＝的两实数根且＋＝－2＝1则的值是()B．－C．4D．－1
【解析】∵x是关于x的方程x＋ax－2b＝0的两实数根＋x＝－a＝－2＝－2b＝1解得a＝2＝－＝＝故选
9．(2016·台州)有x支球队参加篮球比赛共比赛了场每两队之间都比赛一场则下列方程中符合题意的是()x(x－1)＝45B．(x＋1)＝45(x－1)＝45D．(x＋1)＝45
【解析】∵有x支球队参加篮球比赛每两队之间都比赛一场共比赛场数为(x－1)可列方程为(x－1)＝45.故选
二、填空题(3分共18分)10．(2016·达州)设分别为一元二次方程＋2－＝的两个实数根则＋3＋＝．【导学号90280070】【解析】∵m为一元二次方程x＋2x－2018＝0的实数根＋2m－2018＝0即m＝－2m＋2018＋＋＝－2m＋2018＋3m＋n＝2018＋m＋n.分别为一元二次方程x＋2x－2018＝0的两个实数根＋n＝－2＋3m＋n＝2018－＝
11．方程3(x－5)＝2(x－5)的根是．3(x－5)－2(x－5)＝0.分解因式得(x－5)[3(x－5)－2]＝0即(x－5)(3x－17)＝0可得x－5＝0或3x－17＝0解得x＝5＝x1＝5＝
12．一个容器盛满纯药液第一次倒出若干升后用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液这时容器里只剩下纯药液10L则每次倒出的液体是L.
【导学号90280071】
【解析】设每次倒出的液体是由题意得40－－＝10解得x＝60(舍去)＝20故每次倒出的液体为2020
13．(2016·襄阳)关于的一元二次方程－2＋－＝有两个相等的实数根则的值为．【解析】∵关于x的一元二次方程x－2x＋m－1＝0有两个相等的实数根＝b－4ac＝0即2－4(m－1)＝0解得m＝2.
14．(2016·南京)设是方程－4＋＝0的两个x1＋－＝1则＋＝＝．【解析】∵x是方程x－4x＋m＝0的两个根＋＝4＝m.代入x＋x－x＝1得4－m＝1＝15．若实数a满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0则＋b＝－或1．【导学号90280072】【解析】将4a＋4b看作一个整体原方程可变形为(4a＋4b)－(4a＋4b)－8＝0(4a＋4b＋24a＋4b－)＝4a＋4b＋2＝0或4a＋4b－4＝0＋b＝－或a＋b＝1.三、解答题(共55分)16．(每小题5分共10分)(1)(2016·兰州)2＋4＝＋2.解：方程可变形为2y＋3y－2＝0因式分解得(2y－1)(y＋2)＝0－1＝0或y＋2＝0解得y＝＝－2.
(2)(2016·山西)解方程：2(x－3)＝x－9.解：2(x－3)－(x＋3)(x－3)＝0因式分解得(x－3)(2x－6－x－3)＝0即(x－3)(x－9)＝0.解得x＝3＝9.
17．(6分)(2016·巴中)定义新运算：对于任意实数都有＝＋等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘例如：－3☆2＝(－3)＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆的值小于0请判断方程：－＋＝0的根的情况．
解：∵2☆a的值小于0＋a＝5a＜0解得a＜0.在方程2x－bx＋a＝0中＝(－b)－8a≥－8a＞0方程2x－bx＋a＝0有两个不相等的实数根．18．(8分)如图某农场有一块长40m、宽32m的矩形种植地为方便管理准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【导学号90280073】
分析：可设小路的宽为x将图中的小路平移到路边时种植面积仍为1140求出此时图形的长和宽根据面积为1140列出方程求解即可．
解：设小路的宽为x米．根据题意得(40－x)(32－x)＝1140.整理得x－72x＋140＝0.解得x＝2＝70.经检验＝70不合题意舍去．答：小路的宽为2
点评：实际生活中的甬道问题一般解法就是将甬道平移到图形的边缘使得剩余的矩形合在一起组成一个大矩形．19．(9分)(2016·岳阳)已知关于的方程－(2m＋)x＋(m＋)＝0.【导学号90280074】(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；解：∵关于x的一元二次方程x－(2m＋1)x＋(m＋1)＝0＝(2m＋1)－4m(m＋1)＝1＞0方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为＝0求代数式(2－1)＋(3＋)(3－)＋7－5的值(要求先化简再求值)．解：∵x＝0是此方程的一个根把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0,＝0或m＝－1.(2m－1)＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m－4m＋＋－m＋7m－5＝3m＋3m＋5把m＝0代入3m＋3m＋5得3m＋3m＋5＝5；把m＝－1代入3m＋3m＋5得3m＋3m＋5＝3×－＋5＝5.20．(10分)李明准备进行如下操作实验把一根长40cm的铁丝剪成两段并把每段首尾相连各围成一个正方形．【导学号90280075】(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm李明应该怎么剪这根2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于你认为他的说法正确吗？请说明理由．
分析：(1)设剪成的较短的这段为较长的这段就为(40－)cm.就可以表示出这两个正方形的面积根据两个正方形的面积之和等于58cm建立方程求出其解即可；(2)根据两个正方形的面积之和等于48cm建立方程如果方程有解就说明李明的说法错误否解：(1)设剪成的较短的这段为较长的这段就为(40－)cm，由题意得＋＝58解得＝12＝28.当＝12时较长的为40－12＝28(cm)；当＝28时较长的为40－2812(cm)，
12cm<28cm，舍去．答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段．(2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为较长的这段就为(40－)cm，由题意得＋＝48m2－40m＋416＝0.＝(－40)－4×416＝－64<0原方程无实数根．即这两个正方形的面积之和不可能等于48cm故李明的说法正确．21．(12分)(2016·重庆)近期猪肉价格不断走高引起了民众与政府的高度关注．当市【导学号90280076】(1)从今年年初至5月20日猪肉价格不断走高月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？
解：设今年年初的猪肉价格每千克为x元根据题意得(1＋60)x≥100.
解不等式得x≥25.今年年初猪肉的最低价格为25元．(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调出售．某超市按规40元的情况下该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了且储备猪肉的销量占总销量的两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了求的值．解：设5月20日该超市猪肉的销量为1根据题意得(1＋a)＋40(1－a)×(1＋a)＝40(1＋)．令a＝y原方程可化为40×(1＋y)＋40(1－y)×(1＋y)＝40整理得5y－y＝0.
解得y＝02＝＝0(不合题意舍去)＝20.答：a的值是20. |
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