第9讲不等式及一元一次不等式考点一不等式的基本概念1．不等式用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．2．不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．3．不等式的解集一般地一个含有未知数的不等式的所有的解组成这个不等式的解集．4．一元一次不等式只含有一个未知数并且未知数的次数是的不等式叫做一元一次不等式．其一般形式为＋b＜0或＋b＞0(a≠0)．5．解不等式求解集的过程叫做解不等式．考点二不等式的基本性质1．如果a＞b那么a±c＞b±c.2．如果a＞b＞0那么ac＞bc3．如果a＞b＜0那么ac＜bc一定要注意：在应用不等式的基本性质3时要改变不等号的方向．考点三解一元一次不等式1．在数轴上表示不等式的解集不等式 在数轴上表示 x>a x≥a x≤a
2.解一元一次不等式的基本步骤去分母去括号移项合并同类项系数化为1．用数轴表示不等式的解集时注意实心圆点和空心圆圈的意义.
考点四一元一次不等式的应用列不等式解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)确定包含未知数的不等关系；(4)列出不等式；(5)求出不等式的解集；(6)检验不等式的解是否符合题意；(7)写出答案．温馨提示：
1．利用一元一次不等式解答应用题常含有的关键词语：大于()、小于(＜)、不多于(≤)、不少利用一元一次不等式解应用题常常要借助方程思想解题方法与利用方程解应用题类似同时也要渗透分类讨论思想和函数思想．
3．不等式的解有无限个而实际问题的答案往往要取特殊解．考点一不等式的基本性质例1(2016·大庆)当0＜x＜1时的大小顺序是()＜x＜＜x＜x＜x2＜x．x＜x＜
【点拨】当0＜x＜1时在不等式0＜x＜1的两边都乘上x得0＜x＜x；在不等式0＜x＜1的两边都除以x得＜＜又∵x＜1＜x＜故选【答案】
方法总结：
运用不等式的基本性质2和性质3的区别．在不等式的两边乘(或除以)同一个数时必须先弄清楚这个数是正数还是负数如果是负数不等号的方向要改变．
考点二一元一次不等式的解法例2(2016·无锡)解不等式：2x－3≤(x＋2)．【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法按照解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可得出结果．
解：去分母、去括号得4x－6≤x＋2.移项、合并同类项得3x≤8.系数化为1得x≤
方法总结：
不等式两边同乘(或除以)同一个负数时要改变不等号的方向所以在去分母、系数化为1两个步骤中要时刻注意是否要改变不等号的方向.考点三在数轴上表示不等式的解集例3(2016·连解不等式＜x－1并将解集在数轴上表示出来．
【点拨】去分母、移项、合并同类项得2x＞4系数化为1得x＞2然后将其在数轴上表示出来．解：去分母得1＋x＜3x－3.移项、合并同类项得－2x＜－4.系数化为1得x＞2.把解集在数轴上表示如图所示：方法总结：
把不等式(组)的解集在数轴上表示时一是定边界点二是定方向．解集中含有等号的边界点用实心圆点不含等号的用空心圆圈相对边界点而言小于向左大于向右”．口诀：大于向右画小于向左画有等号画实心圆点无等号画空心圆圈．考点四一元一次不等式的应用例4(2016·沈阳)倡导健康生活推进全民健身．某社区要购进A两种型号的健身器材若干套两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元、460元且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买A两种型号的健身器材共50套且恰好支出20000元求A两种型号健身器材各购买多少套？(2)若购买A两种型号的健身器材共50套且支出不超过18000元求A种型号健身器材至少要购买多少套？【点拨】(1)设购买A种型号健身器材x套种型号健身器材y套根据A两种型号的健身器材共50套共支出20000元列方程组求解可得；(2)设购买A种型号健身器材m套根据A种型号器材总费用＋B种型号器材总费用≤18000列不等式求解即可．解：(1)设购买Ax套种型号健身器材y套根据题意得解得答：设购买A种型号健身器材20套种型号健身器材30套．(2)设购买A种型号健身器材m套根据题意得310m＋460(50－m)≤18000解得m≥33为整数的最小值为34.答：A种型号健身器34套．方法总结：
1．找不等关系往往要找到表示不等关系的词语但也要注意很多不等关系是隐含的如购买东西时所花钱数要小于或等于总钱数．在解应用题时往往要根据实际问题的意义求出特殊解而这些条件往往是隐含的解题时要特别注意．
1．若a＞b则下列式子正确的是()－4a＞－4ba＜－a＞4－b．－4＞b－42．不等式2x＋6＞0的解集在数轴上表示正确的是(C)
3．(2016·怀化)不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有()个B．2个个D．4个4．若关于x的不等式ax＋3＞0的解集为x＜3则关于m的不等式m＋2a＜1的解集为()＜3．＜－3＞－3．＞－2
5．(2016·陕西)不等式－＋3＜0的解集是＞6．6．若关于x的不等式(1－a)x＞2可化为x＜则a的取值范＞1．
7．(2016·黄冈)解不等式：(x－1)－4.解：去分母得x＋1≥6(x－1)－8.去括号得x＋1≥6x－14.移项、合并同类项得5x≤15.系数化为1得x≤3.8．为了提倡低碳经济更好地节约能源某公司决定购买10台节省能源的新机器．现有甲、乙两种型号的设备其中每台的价格和工作量如下表：
节能设备 甲型 乙型 价格(万元/台) 12 b产量(吨/月) 240 180经调查：购买一台甲型设备12万元购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．
(1)求b的值；(2)经预算该公司购买节能设备的资金不超过110万元共有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下若每月要求产量不低于2040吨为了节约资金请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．解：(1)设乙型设备每台x万元根据题意得3x－6＝12×2＝10则b的值为10.(2)设购买甲型设备x台则购买乙型设备(10－x)台则12x＋10(10－x)≤110取非负整数＝0则10－x＝10
∴共有6种购买方案分别是①购买乙型设备10台；购买甲型设备1台乙型设备9台；③购买甲型设备台乙型设备8台；④购买甲型设备3台乙型设备台；⑤购买甲型设备4台乙型设备6台；⑥购买甲型设备5台乙型设备5台．(3)由题意得240x＋180(10－x)≥2040x＝4或5.当x＝4时购买资金为12×4＋10×6＝108(万元)；当x＝5时购买资金为12×5＋10×5＝110(万元)．购买甲型设备4台乙型设备6台最省钱．
一、选择题(每小题3分共30分)1．不等式2x－6＞0的解集是()＞1＜3．＞3．＜3
2．a，b都是实数且ab，则下列不等式的变形正确的是()＋xb＋x－a＋1－b＋1＞
3．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是()．．4．不等式3x≤2(x－1)的解集为()－1－1．－2．－25．(2016·江西)将不等式3－2＜1的解集表示在数轴上正确的是()
【解析】解不等式3－2＜1得＜1定边界点时要注意点是实心还是空心若边界点含于解集为故选D．
6．(2016·南充)不等式＞－1的正整数解的个数是()个B．2个C．3个D．4个
【解析】去分母得3(x＋1)＞2(2x＋2)－6.去括号得3x＋3＞4x＋4－6.移项得3x－4x＞4－6－3.合并同类项得－x＞－5.系数化为1得x＜5.故不等式的正整数解有1共4个．故选
7．若不等式ax－2＞0的解集为x＜－2则关于y的方程ay＋2＝0的解为()【导学号90280085】＝－1＝1．＝－2．＝2
【解析】不等式ax－2＞0变形为－ax＜－2解集是＜－2－a＝1即a＝－1.把a＝－1代入ay＋＝0可得－y＋2＝0解得y＝2.故选
8．关于x的不等式x－b＞0恰有两个负整数解则b的取值范围是()－3＜b＜－2－3＜b≤－2－3≤b≤－2．－3≤b＜－2
【解析】解不等式x－b＞0得x＞b．∵不等式恰有两个负整数解这两个负整数解为－1－2.－3≤b＜－2.故选
9．(2016·遵义)三个连续正整数的和小于39这样的正整数中最大一组的和是()【导学号90280086】C．35D．34
【解析】设三个连续正整数分别为x－1＋1.由题意(x－1)＋x＋(x＋1)＜39＜13为整数当＝12时三个连续整数的和最大最大一组的和为＋＋13＝36.故选10．东营市出租车的收费标准：起步价元(即行驶距离不超过3千米都需付8元车费)超过千米以后每增加1千米加收1.5元(不足1千米按1千米计)．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米出租车费为15.5元那么x的最大值是()【导学号90280087】．
【解析】根据题意得1.5(x－3)≤15.5－8解得x≤8.即x的最大值为8.故选二、填空题(每小题3分共24分)11．(2016·绍兴)不等式＞＋2的解集是＞－3．【解析】去分母得3(3x＋13)＞4x＋24.去括号得＋＞4x＋24.移项得9x－4x＞24－39.合并同类项得5x＞－15.系数化为1得x＞－3.12．当实数a＜0时＋a＜6－a(填“＞”或“＜”)．13．若(m－2)x＋1－1＞5是关于x的一元一次不等式则该不等式的解集为＜－3．14．不等式5x－3＜3x＋5的最大整数解是．【解析】不等式的解集是x＜4故不等式的最大整数解为3.
15．(2016·娄底)当满足条件＞＞0时＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．若＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆则m的取值范围是．【导学号90280088】
【解析】由题意知2m－6＞0且m＋2＞2m－6解得＜＜8的取值范围是3＜m＜8.＜m＜816．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160某厂家生产符合该规定的行李箱已知行李箱的高为30长与宽的比为3∶2则该行李箱的长的最大值为【导学号90280089】【解析】设行李箱的长为3x宽为2x根据题意可得＋2x＋30≤160解得x≤26.3x≤78，故行李箱长的最大值为7817．某商店的老板销售一种商品他要以不低于进价的价格才能出售但为了获得更多利润他以高出进价80%的价格标价若你想买下标价为360元的这种商品老板最多降价元．【导90280090】【解析】设老板最多降价x元根据题意可得360－(1＋)×(1＋20)，解得x≤120.商店老板最多会降价120元．
18．定义新运算：对于任意实数a都有：a＝a(a－)＋其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算如：2＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－5那么不等式3＜的解集为＞－1．【解析】由题意可得3(3－x)＋1＜13解得x＞－1.三、解答题(共46分)19．(每小题3分共6分)(1)(2016·黄冈)解不等式：(x－1)－4.解：去分母得x＋1≥6(x－1)－8.去括号得x＋1≥6x－6－8.移项得x－6x6－8－1.合并同类项得－5x≥－15.系数化为1得x≤3.
(2)(2016·苏州)解不等式：2x－1＞并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母得4x－2＞3x－1.移项得4x－3x＞2－1.合并同类项得x＞1.将不等式的解集在数轴上表示如图所示：
20．(8分)解不等式：，并求出它的正整数解．解：去分母得3(x－2)≤2(7－x)．去括号得3x－6≤14－2x.移项、合并同类项得5x≤20.系数化为1得x≤4.它的正整数解为121．(10分)(2016·大庆)关于的两个不等式①＜1与－3x＞0.【导学90280091】(1)若两个不等式的解集相同求a的值；解：由①得x＜由②得x＜由两个不等式的解集相同得＝解得a＝1.
(2)若不等式①的解都是②的解求a的取值范围．解：由不等式①的解都是②的解得，
解得a≥1.22．(10分)(2016·益阳)某职业高中机电班共有学生人其中男生人数比女生人数的2倍少3人．(1)该班男生和女生各有多少人？解：设该班男生有x人女生有y人依题意得解得答：该班男生有27人女生有15人．
(2)某工厂决定到该班招录30名学生经测试该班男、女生每天能加工的零件数分别为50个和45个为保证他们每天加工的零件总数不少于1460个那么至少
解：设招录的男生为m名则招录的女生为(30－m)名依题意得50m＋45(30－m)≥1460解得m≥22.答：工厂在该班至少要招录22名男生．23．(12分)某电器超市销售每台进价分别为200元、元的A两种型号的电风扇表中是近两周的销售情况：【导学号90280092】(进价、售价均保持不变利润＝销售收入－进货成本)(1)求A两种型号的电风扇的销售单价；(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台求A种型号的电风扇最多能采购多少台？(3)在(2)的条件下超市销售完这301400元的目标？若能请给出相应的采购方案；若不能请说明理由．分析：(1)设A两种型号电风扇的销售单价分别为元、元根据3台A型号和5台B型号的电风扇收入1800元台A型号和10台B型号的电风扇收入3100元列方程组求解；(2)设采购A种型号电风扇台则采购B种型号电风扇(30－a)台根据金额不多于5400元列不等式求解；(3)设利润为1400元列方程求出a的值为20不符合(2)的条件可知不能实现目标．解：(1)设A两种型号电风扇的销售单价分别为元、元依题意得解得答：A两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．(2)设采购A种型号电风扇a台则采购B种型号电风扇(30－a)台依题意200a＋170(30－a)≤5400解得a≤10.答：超市最多采购A种型号电风扇10台．(3)依题意得(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝解得a＝20.在(2)的条件下超市不能实现利润为元的目标. |
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